Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd SUKU BANYAK

Standar Kompetensi 4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam Penyelesaian Masalah Kompetensi Dasar 4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian 4.2 Menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam memecahkan masalah

Tujuan Pembelajaran ♥ Siswa dapat menggunakan algoritma Pembagian Suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian ♥ Siswa dapat menggunakan Teorema sisa dan teorema faktor dalam Pemecahan masalah

Aspek Penyajian  Peng. Suku banyak, nilai suku banyak, dan operasi antarsukubanya  Pembagian suku banyak  Teorema sisa  Teorema Faktor

Pengertian Suku Banyak Nilai Suku Banyak Operasi Antar Suku Banyak

Pengertian Suku Banyak Suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki Bentuk umum a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 a o, a 1, a n-1, a n-2, a n bil. real a n ≠ 0 a o, a 1, a n-1, a n-2, a n koefisien dan a o suku tetap Contoh: 3x 5 + 6x 4 - 2x 2 - 4x + 7 Suku banyak diatas merupakan suku banyak berderajat 5 dimana, Koef dari X 5 adalah 3 Koef dari x 4 adalah 6 Koef dari x 3 adalah 0 koef dari x 2 adalah -2 Koef dari x adalah -4 Suku tetapnya adalah 7 Suku banyak terdiri dari 2 yaitu yang mempunyai satu variabel ( univariabel) dan suku banyak yang lebih dari satu variabel ( multivariabel)

Nilai Suku Banyak Nilai suku banyak dapat dicari dengan 2 metode, yaitu ♥Metode Substitusi/ Langsung ♥Metode bagan / Skema Suku banyak dapat dinyatakan dalam fungsi berikut f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Kadang dinyatakan dengan P(x) atau S(x)

Metode Substitusi Jika diketahui polinom f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Untuk x = P, maka f(x) = a n p n + a n-1 p n-1 + … + a 2 p 2 + a 1 p 1 + a 0 Disebut nilai suku banyak Contoh Tent. Nilai suku banyak Jika diketahui polinom f(x) = x 3 + 3x 2 - x + 5 untuk nilai x = 2 Penye; Untuk x = 2, diperoleh f(2) = (2) 3 + 3(2) f(2) = = = 13 Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13

Contoh Dik. Suku banyak dengan 2 variabel yaitu x dan y. Hitung nilai suku banyak f(x,y) = x 3 y+ 3x 2 y 2 - 2x + 4y + 2 untuk f(2,1) Penye; Untuk x = 2 dan y = 1 diperoleh f(x,y) = x 3 y+ 3x 2 y 2 - 2x + 4y + 2 f(2, 1) = (2) (2) 2 (1) 2 – 2.(2) + 4.(1) + 2 f(2,1) = f(2,1) = = 33 Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 dan y = 1 adalah f(2,1) = 33

Metode Bagan / Skema Misal f(x) = ax 3 + bx 2 + cx+ d, untuk x = p berlaku f(p) = ap 3 + bp 2 + cp + d Bentuk ini dapat diubah menjadi f(p) = (ap 2 + bp + c)p + d f(p) = ((ap + b)p + c)p + d Jadi, f(p) = ap 3 + bp 2 + cp + d dapat diperoleh dengan cara: ♥Kalikan a dengan p lalu tambah b, hasilnya (ap+b) ♥Kalikan (ap+b) dengan p lalu tambah c, hasilnya (ap+b)p + c atau ap 2 + bp + c ♥Kalikan ap 2 + bp + c dengan p lalu tambah d hasilnya (ap 2 +bp +c)p +d = ap 3 +bp 2 +cp + d

f(p) = ap 3 + bp 2 + cp + d yg diperhatikan: Penulisan koefisien suku banyak harus berturut-turut dari pangkat tertingi ke pangkat terendah. koef p 3 koef p 2 koef p 1 koef p o /suku tetap Nilai dari suku banyak f(x) = ax 3 + bx 2 + cx+ d, untuk x = p

Contoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = x 3 + 2x 2 - 4x + 5 ; x = 2 Penye : koef x 3 koef x 2 koef x 1 koef x o /suku tetap jadi, nilai suku f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13

C ontoh Tent. Nilai suku banyak f(x) = 2x 4 + x 2 + 3x + 2 ; x = 3 dengan metode substitusi dan metode bagan !!! Penye : Metode substitusi Untuk x = 3, diperoleh f(3) = 2(3) 4 + (3) 2 + 3(3) + 2 f(2) = 2.(81) = = 182 Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182 Metode Bagan/ Skema Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182 koef x 4 koef x 3 koef x 2 koef x 1 koef p o /suku tetap

Operasi Antarsukubanyak A. Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sejenis Misal ☻ 2x 2 sejenis dengan 3x 2 sehingga 2x 2 + 3x 2 = (2+3)x 2 = 5x 2 ☻ 3y 4 sejenis dengan y 4 sehingga 3y 4 – y 4 = (3-1)y 4 = 2y 4 ☻ 2y 3 tidak sejenis dengan 2x 3 sehingga 2y 3 + 2x 3 = 2y 3 + 2x 3 ☻ 5x 3 tidak sejenis dengan 2x 2 sehingga 5x 3 - 2x 2 = 5x 3 - 2x 2 Misal f(x) dan g(x) masing masing merupakan suku banyak berderajat m dan n maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat m atau n

Contoh : Dik. f(x) = 3x 2 + 4x + 1 dan g(x) = 2x 4 + 3x 2 – 6x + 4 Tent. f(x) + g(x) dan f(x) – g(x) serta derajatnya f(x) + g(x) = (3x 2 + 4x + 1) + (2x 4 + 3x 2 – 6x + 4) f(x) + g(x) = (0 + 2x 4 )+ (3x 2 + 3x 2 ) +(4x – 6x) + (1+4) f(x) + g(x) = 2x 4 + 6x 2 + (–2x) + 5 f(x) + g(x) = 2x 4 + 6x 2 –2x + 5 Jadi, f(x) + g(x) = 2x 4 + 6x 2 –2x + 5 dan f(x) + g(x) berderajat 4 f(x) - g(x) = (3x 2 + 4x + 1) - (2x 4 + 3x 2 – 5x + 4) f(x) - g(x) = (0-2x 4 )+ (3x 2 - 3x 2 ) +(4x – (-6x) + (1-4) f(x) - g(x) = (-2x 4 ) x + (-3) f(x) - g(x) = -2x x - 3 Jadi, f(x) - g(x) = -2x x - 3 dan f(x) - g(x) berderajat 4

Perkalian AntarSuku Banyak Perkalian suku banyak f(x) dengan g(x) Mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua suku digunakan sifat distribusi perkalian ( distribusi perkalian terhadap penjumlahan maupun distribusi perkalian terhadap pengurangan, kemudian baru dihitung jumlahnya. Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing merupakan suku banyak berderajat m atau n maka: f(x). g(x) adalah suku banyak berderajat m+n Misalkan f(x) = 3x 2 + 4x + 1 adalah suku banyak berderajat 2 g(x) = 2x 4 + 3x 2 – 6x + 4 adalah suku banyak berderajat 4 Maka hasil perkalian f(x) dengan g(x) berderajat 2+4 = 6

Contoh Tent. Hasil dan derajat perkalian dari 1.2x 2 - 4x + 5 dengan x X - 2 dengan (2x + 1) 2 Ingat!!! a m x a n = a m+n (2x 2 – 4x + 5)(x 2 + 4) = 2x 2 (x 2 + 4) -4x(x 2 + 4) + 5(x 2 + 4) = 2x 4 + 8x 2 – 4x 3 – 16x + 5x = 2x 4 – 4x 3 + 8x 2 + 5x 2 – 16x + 20 = 2x 4 – 4x x 2 – 16x + 20 Hasilnya suku banyak berderajat 4 atau = 4 Penyelesaian : (x - 2)(2x + 1) 2 = (x – 2)(4x 2 + 4x + 1) = x (4x 2 + 4x + 1) – 2(4x 2 + 4x + 1) = 4x 3 + 4x 2 + x – 8x 2 – 8x – 2 = 4x 3 + 4x 2 – 8x 2 + x – 8x – 2 = 4x 3 – 4x 2 – 7x – 2 Hasilnya suku banyak berderajat 3 atau = 3

Kesamaan Suku Banyak Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyak f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 g(x) = b n x n + b n-1 x n-1 + … + b 2 x 2 + b 1 x 1 + b 0 f(x) ≡ g(x) jika dan hanya jika a n = b n ; a n-1 = b n-1 ; … ; a 2 = b 2 ; a 1 = b 1 ; a 0 = b 0 Contoh Tentukan nilai a, b, c, dan d, jika X 4 - 8x 3 – 15x – 20 = x 4 + ax 3 + (a+b)x 2 + (26-c)x + d Penyelesaian

X 4 - 8x x – 20 = x 4 + ax 3 + (a+b)x 2 + (26-c)x + d Misal f(x) = X 4 - 8x x – 20 Misal g(x) = x 4 + ax 3 + (a+b)x 2 + (26-c)x + d f(x) = g(x) Koefisien x 4 1 = 1 Koefisien x 3 -8 = a pers. 1 Koefisien x 2 0 = a + b pers. 2 Koefisien x 15 = 2b – c pers. 3 Koefisien x = d pers. 4 pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh: 0 = a + b 0 = (-8) + b 8 = b pers. 5 pers 5 disubs. ke pers 3, diperoleh: 15 = 2b - c 15 = 2(8) - c 15 = 16 - c C = 16 – 15 = 1 dari uraian diatas, diperoleh: a = -8 c = 1 b = 8 d = -20

Pembagian suku Banyak Hubungan antara yang dibagi, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian Cara pembagian suku banyak * Cara Biasa/ Langsung * Cara Skema/ Horner Pembagian suku banyak dengan; * Pembagi berbentuk linear; ( x – k) dan (ax – b) * Pembagi berbentuk kuadrat ( ax 2 + bx + c)

Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa Pembagian. perhatikan pembagian bersusun dibawah ( i ) ( ii ) Dari (i) terlihat bahwa 7 dibagi dengan 2 memberikan hasil 3 dengan sisa pembagian 1 Dari (ii) terlihat bahwa 8 dibagi dengan 2 memberikan hasil 4 dengan sisa pembagian 0 ( i ) 7 = 2 x ( ii ) 8 = 4 x Dengan demikian dapat dirumuskan sebagai berikut: Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian

Pembagian suku Banyak berbentuk linear; (x – k) dan (ax + b) Cara yang digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi berbentuk linear dikenal dengan cara biasa dan cara horner Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa f(x) = ( x – k ). H(x) + S Dimana, f(x) = fungsi yang dibagi ( x – k ) = pembagi H(x) = hasil bagi S = sisa pembagian Catatan…. Derajat hasil bagi ditambah derajat pembagi sama dengan derajat yang dibagi Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sis Pembagi suku banyak dengan (x – k) Hub. Antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian adalah

Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut: (x 3 – 11x + 10) : (x – 5 ) Dengan pembagian bersusun/ biasa X 3 – 11x + 10 Dari pembagian disamping diperoleh; Hasil bagi / H(x) : x 2 + 5x + 14 Sisa pembagian/ S : 80 x - 5 x2x2 X 3 – 5x 2 5X 2 – 11x x x x 5X 2 – 25x Sehingga hub; f(x) = ( x – k ). H(x) + S (x 3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x 2 + 5x + 14) + 80

Cara horner / Skema ( x 3 – 11x + 10 ) : ( x – 5 ), berarti faktor pengalihnya adalah 5 Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( x – k ) atau ( x + k) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah : Jika pembaginya ( x – k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah k Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k koef x 3 koef x 2 koef x 1 koef p o /suku tetap Hasil bagi koef x 2 koef x 1 koef p o /suku tetap ….. sisa Hasil bagi H(x) = x 2 + 5x + 14 Sehingga hubungannya: (x 3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x 2 + 5x + 14) + 80

Tent. Hasil bagi dan sisa pembagian berikut: (x 3 + 6x 2 + 3x – 15) : (x + 3 ) Dengan pembagian bersusun/ biasa X 3 + 6x 2 + 3x - 15 Diperoleh hasil bagi / H(x) = x2 + 3x – 6 Sisa pembagian / S = 3 x + 3 x2x2 X 3 + 3x 2 3X 2 + 3x x x x 3X 2 + 9x ……. hasil bagi … sisa

Cara horner / Skema (x 3 + 6x 2 + 3x – 15) : (x + 3 ) Berarti fakor pengali terhadap koefisien2 adalah -3 koef x 3 koef x 2 koef x 1 koef p o /suku tetap Hasil bagi koef x 2 koef x 1 koef p o /suku tetap ….. sisa Hasil bagi H(x) = x 2 + 5x + 14 Sisa pembagian/ S = 3 1 jadi koefisien x 2 3 jadi koefisien x jadi koefisien x o atau suku tetap

Pembagi suku banyak dengan (ax + b) Dengan cara horner Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax + b ) atau ( ax - b) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah : Jika pembaginya ( ax + b ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah - Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku banyak adalah -k

Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi, Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut: (x 3 – 11x + 10) : (x – 5 ) Dengan pembagian bersusun/ biasa X 3 – 11x + 10 perhatikan pembagian bersusun dibawah x - 5 x2x2 X 3 – 5x 2 5X 2 – 11x + 10 X 3 – 5x x x x 5X 2 – 25x

Pembagi suku banyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat (ax 2 + bx + c untuk a ≠ o) jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax 2 +bx+c, dengan a≠0 (untuk ax 2 +bx+c, a≠0 yang dapat difaktorkan ataupun yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa pembagiannya dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun Hubungannya… f(x) = ( ax 2 + bx + c ). H(x) + (px + g) Derajat yang dibagi > derajat Pembagi > derajat Hasil bagi ≥ derajat Sisa

Tent. Hasil bagi dansisa pembagian suku banyak f(x) = 2x 3 + 3x + 6 oleh x 2 + x - 1 Dengan pembagian bersusun/ biasa 2X 3 + 3x + 6 Hasil / H(x) = 2x – 1 dan Sisa / S = 6x + 5, seingga: x 2 + x - 1 2x 2X 3 + 2x 2 –2x -X 2 + 5x + 6 6x X 2 – x + 1 f(x) = ( ax 2 + bx + c ). H(x) + (px + g) 2x 3 + 3x + 6 = ( x 2 + x - 1 ). H(x) + (px + g) ( 2x 3 +3x+6 ) = ( x 2 +x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )

Dengan menggunakan hubungan… f(x) = ( ax 2 + bx + c ). H(x) + S ingat!! Derajat pembagi + derajat asi bagi = derajat yang dibagi Jadi, meliat derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 2 maka dapat disimpulkan bawa derajat hasil adala 1, sehingga dimisalkan hasil : ax+b dan sisa : px + q f(x) = ( ax 2 + bx + c ). H(x) + S (2x 3 + x 2 + 3x + 6) = ( x 2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) (2x 3 + x 2 + 3x + 6) = ( a x 3 + bx 2 + ax 2 + bx – ax – b ) + ( px+q ) (2x 3 + x 2 + 3x + 6) = ( ax 3 + bx 2 + ax 2 + bx – ax + px – b +q ) (2x 3 + x 2 + 3x + 6) = a x 3 + (b+a) x 2 + (b-a+p) x + ( q-b ) (2x 3 + x 2 + 3x + 6) = a x 3 + (a+b) x 2 + (b-a+p) x + ( q-b ) Ingat!!! Kesamaan Suku Banyak

f(x) = g(x) Koefisien x 3 2 = a pers. 1 Koefisien x 2 1 = a + b pers. 2 Koefisien x 3 = b - a + p pers. 3 Koefisien x 0 6 = q - b pers. 4 Misalkan: p(x) = (2x 3 + x 2 + 3x + 6) g(x) = a x 3 + (a+b) x 2 + (b-a+p) x + ( q-b ) pers 1 disubs. ke pers 2, Diperoleh: 1 = a + b 1 = 2 + b = b -1 = b pers. 5

pers 5 disubs. ke pers 4, Diperoleh: 6 = q - b 6 = q – (-1) 6 = q = q 5 = q pers. 7 pers 1 & 5 disubs. pers 3, Diperoleh: 3 = b – a + p 3 = -1 – 2 + p 3 = p = p 6 = p pers. 6 dari uraian diatas, diperoleh: a = 2 p = -6 b = -1 q = 5 Sehingga : Hasil / H(x) ax + b = 2x – 1 Sisa / S px + q = 6x + 5 (2x 3 + x 2 + 3x + 6) = ( x 2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q ) ( 2x 3 +x 2 +3x+6 ) = ( x 2 +x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )