Optimasi Fungsi Tanpa Kendala Eneng Tita Tosida, M.Si.

Optimasi Satu Variabel

Titik Maksimum (Ekstrim) Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x0 - h) BP = f(x0) CR = f(x0 + h)

P disebut titik maksimum bila : BP > AQ f(x0) > f(x0 - h) BP > CR f(x0) > f(x0 + h) Dari Q ke P kurva naik  untuk semua x dari titik-titik diantara Q dan P mempunyai f’(x) > 0 Dari P ke R kurva turun  untuk semua x dari titik-titik diantara P dan R mempunyai f’(x) < 0

Oleh karena kurva kontinyu  perubahan dari f’(x) > 0 ke f’(x) < 0, harus melalui f’(x) = 0 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Titik maksimum P, f’(x) = 0  garis singgung di P pada sumbu x

Titik Minimum (Ekstrim) Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x0 - h) BP = f(x0) CR = f(x0 + h)

P disebut titik minimum bila : BP < AQ f(x0) < f(x0 - h) BP < CR f(x0) < f(x0 + h) Dari Q ke P kurva turun  untuk semua x dari titik-titik diantara Q dan P mempunyai f’(x) < 0 Dari P ke R kurva naik  untuk semua x dari titik-titik diantara P dan R mempunyai f’(x) > 0

Oleh karena kurva kontinyu  perubahan dari f’(x) < 0 ke f’(x) > 0, harus melalui f’(x) = 0 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Titik minimum P, f’(x) = 0  garis singgung di P pada sumbu x

Teorema  Syarat perlu I Adanya titik ekstrim sebagai titik optimum  f’(x) = 0 Pada kejadian : Maksimum : f(x) > f(x+h) Minimum : f(x) < f(x+h)

Dengan Deret Taylor Pada titik ekstrim : f’(x) = 0, h diambil cukup kecil sehingga h3, h4, h5,...=0 atau tergantung dari

Teorema  Syarat Cukup II f’’(x)  0 f’’(x) < 0, kejadian titik ekstrim sebagai titik maximum f’’(x) > 0, kejadian titik ekstrim sebagai titik minimum Pada titik belok f’’(x) = 0; f’’’(x)  0

Contoh Soal Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 12x5- 45x4 + 40x3 + 5 Jawab : f’(x) = 60(x4 - 3x3 + 2x2) f’(x) = 60x2(x-1)(x-2) f’(x) = 0  60x2(x-1)(x-2) = 0 f’(x) = 0  x = 0; x =1, x = 2

Untuk mencari titik x yang mana yang min or max f’’(x) = 60(4x3 - 9x2 + 4x) di x = 1  f’’(x) = -60  f’’(x) < 0 maka dikatakan sebagai titik maximum dengan nilai fmax = f(1) = 12 di x = 2  f’’(x) = 240  f’’(x) > 0 maka dikatakan sebagai titik minimum dengan nilai fmin = f(2) = -11 di x = 0  f’’(x) = 0 f’’’(x) = 60(12x2 - 18x) untuk x  0 f’’’(x) = 60 karena f’’’(x)  0, maka x = 0 dikatakan sebagai titik belok

2. Tentukan titik optimum dari f(x) = x2 - 6x + 5 Jawab : f’(x) = 2x – 6 f’(x) = 0  2x – 6 = 0  x = 3 f’’(x) = 2, untuk semua x, khususnya f’’(3) = 2 f(3) = -4  merupakan minimum lokal

3. Tentukan titik optimum dari f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 5 Jawab : f’(x) = 6x2 - 6x – 12 = 6(x+1)(x-2) f’’(x) = 12x - 6 f’(x) = 0  x = -1; x = 2 f’’(-1) = -18, diperoleh f(-1) = 12 sebagai titik maks lokal f’’(2) = 18, diperoleh f(2) = -15 sebagai titik min lokal

4. Tentukan nilai optimum dari f(x) = x2 - 2x – 1 pada [-1, 2] Jawab : ?????

5 . Pencarian Titik Optimum untuk Fungsi Pecahan titik optimum pada titik ekstrim untuk fungsi pecahan jika  juga merupakan pecahan syarat agar fungsi tersebut merupakan titik ekstrim p(x) = 0; q(x) = 0 jenis titik ekstrimnya ditentukan oleh keadaan f’’(x) 

5. Tentukan titik ekstrim dari Jawab: (Bentuk yang disederhanakan untuk titik nol dari p(x)) minimum maximum

jadi titik-titik ekstrimnya : Sehingga : minimum maximum

Titik Ekstrim dari fungsi parameter Fungsi x = (t) dan y = (t) merupakan nilai ekstrim jika berlaku : ’(t) = 0; ’(t)  0 Fungsi tersebut mempunyai nilai : Maximum jika : ’’(t) < 0 Minimum jika : ’’(t) > 0

Contoh Tentukan titik ekstrim dari fungsi x = a cos t = (t) y = b sin t = (t)

Jawab (t) = a cos t  ’(t) = -a sin t (t) = b sin t  ’(t) = b cos t dan ’’(t) = - b sin t ’(t) = 0  b cos t = 0 dengan ’(t1)  0 ; ’(t2)  0