ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig TRANSFORMASI LAPLACE DARI DIFERENSIAL DAN INTEGRAL ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig by: Karohika, I Made Gatot 2014

Transformasi Laplace dari Diferensial dan Integral Mungkin sifat yang paling penting dari transformasi Laplace adalah sifat linearitas. Dalam urutan sifat yang penting berikutnya adalah fakta bahwa diferensiasi dari sebuah fungsi f(t) secara garis besar berkaitan dengan perkalian F(s) dengan s. Selanjutnya, karena integrasi adalah operasi invers dari diferensiasi, transformasi Laplace dari integral diharapkan berkaitan dengan pembagian transformasi F(s) oleh s. Oleh karena itu dalam modul ini akan dibahas tata cara menentukan transformasi Laplace dari diferensiasi dan integrasi f(t).

Transformasi Laplace dari Diferensiasi f(t) Andaikan f(t) adalah fungsi kontinu untuk semua t ≥ 0 dan mempunyai diferensial f’(t) yang kontinu terus menerus pada setiap interval berhingga di daerah hasil t ≥ 0, maka transformasi Laplace dari diferensial f’(t) adalah, £(f’) = s £ (f) – f(0) ...........................................................(1) Persamaan (1) dapat dikembangkan sebagai, £ (f”) = s £ (f’) – f’(0) = s [s £ (f) – f(0)] – f’(0) sehingga, £ (f”) = s2 £ (f) – s f(0) – f’(0) ……………………..………(2) Dengan cara serupa akan diperoleh, £ (f”’) = s3 £ (f) – s2 f(0) – s f’(0) – f”(0) ………….……..(3) Dengan induksi akhirnya didapatkan formula, £ (f(n)) = sn £ (f) – sn-1 f(0) – sn-2 f’(0) – sn-3 f”(0) – ….. – s2 f(n-3)(0) – s f(n-2)(0) – f(n-1)(0) …………..........(4)

CONTOH 1. Jika f(t) = t2, tentukanlah F(s). Penyelesaian: Fungsi f(t) = t2 mempunyai diferensial, f’(t) = 2t, dan f“(t) = 2. Karena f(0) = 0, f’(0) = 0 dan £ (2) = 2 £ (1) = 2/s, dengan memanfaatkan persamaan (2) maka diperoleh, £ (f“) = s2 £ (f) – s f(0) – f’(0) £ (2) = s2 £ (t2) – s × 0 – 0 2/s = s2 £ (t2) F(s) = £ (t2) = 2/s3 Hasil ini sesuai dengan Tabel 1. Contoh ini khas yang mengilustrasikan bahwa secara umum ada banyak cara untuk mendapatkan transformasi Laplace dari fungsi yang diberikan.

CONTOH 2. Jika f(t) = sin2 t, tentukanlah F(s). Penyelesaian: Sekali lagi, fungsi f(t) = sin2 t mempunyai diferensial f ’(t) = 2 sin t cos t = sin 2t. Karena f(0) = 0, dengan memanfaatkan persamaan (1) maka diperoleh, £ (f ’) = s £ (f) – f(0) £ (sin 2t) = s £ (sin2 t) – 0 £ (sin2 t) = [ £ (sin 2t) ] / s Dari Tabel 1 didapatkan, £ (sin 2t) = 2 / (s2 + 4), maka akhirnya, F(s) = £ (f) = £ (sin2 t) = [ £ (sin 2t) ] / s = 2 / [s(s2 + 4)]

CONTOH 3. Jika f(t) = t sin ωt, tentukanlah F(s). Penyelesaian: Fungsi f(t) = t sin ωt mempunyai diferensial, f ’(t) = sin ωt + ωt cos ωt f “(t) = ω cos ωt + ω cos ωt – ω2 t sin ωt = 2ω cos ωt – ω2 f(t) Ekspresi ini ditambah f(0) = 0 dan f ’(0) = 0 disubstitusikan ke dalam persamaan (2), didapatkan £ (f “) = s2 £ (f) – s f(0) – f ’(0) £{2ω cos ωt – ω2 f(t)} = s2 £{f(t)} – s × 0 – 0 2ω £ (cos ωt) – ω2 £ (f) = s2 £ (f) 2ω £ (cos ωt) = (s2 + ω2) £ (f) Dengan memanfaatkan Tabel 1, £ (cos ωt) = s / (s2 + ω2), maka akhirnya diperoleh, F(s) = £ (f) = £ (t sin ωt) = 2ωs / [(s2 + ω2)]2

Transformasi Laplace dari Integrasi f(t) Andaikan f(t) adalah fungsi kontinu terus menerus untuk semua t ≥ 0, Persamaan di atas bila diambil transformasi invers di kedua sisinya dengan menuliskan £{ f(t) } = F(s), mempunyai pasangan yang bermanfaat sehingga diperoleh,maka

Jika F(s) = (s + 1) / (s3 + s), tentukanlah f(t). Penyelesaian: CONTOH 4. Jika F(s) = (s + 1) / (s3 + s), tentukanlah f(t). Penyelesaian: Fungsi F(s) dapat diubah ke dalam bentuk, Dengan memanfaatkan persamaan (6) dan Tabel 1 formula 8, diperoleh

CONTOH 5. Tentukanlah transformasi invers Laplace dari fungsi F(s) = (2s – π) / [s2(s – π)]. Penyelesaian: Fungsi F(s) dapat diubah ke dalam bentuk, sehingga transformasi inves Laplacenya menjadi,

Dengan memanfaatkan persamaan (6) dan Tabel 1 formula 2 dan 6, diperoleh, Akhirnya didapatkan,

Jika F(s) = 1 / [s2(s2 + ω2)], tentukanlah f(t). Penyelesaian: CONTOH 6. Jika F(s) = 1 / [s2(s2 + ω2)], tentukanlah f(t). Penyelesaian: Dari Tabel 1 didapatkan, £-1 {1 / (s2 + ω2)} = 1/ω sin ωt Dengan memanfaatkan persamaan (6), diperoleh ω2 Dengan memanfaatkan persamaan (6) sekali lagi, diperoleh

SOAL-SOAL a. Buktikanlah transformasi Laplace berikut, 1. 2. 3. 4.

b. Tentukanlah f(t) jika £(f) diketahui sebagai berikut, 6 7 8 9 10

sekian