Transformasi Laplace Fungsi Periodik Karohika, I Made Gatot

Fungsi periodik muncul dalam banyak problema praktis, dan dalam banyak kasus fungsi periodik lebih kompleks daripada fungsi kosinus atau sinus tunggal. Topik yang akan dibahas dalam modul ini merupakan pendekatan sistematis pada transformasi fungsi periodik. Tinjaulah ƒ(t) sebagai fungsi yang didefinisikan untuk seluruh waktu t yang positif dan mempunyai periode p (> 0), yakni, ƒ(t + p) = ƒ(t) untuk semua t > 0. Jika ƒ(t) kontinu pada panjang interval p, maka transformasi Laplacenya ada, dan kita dapat menuliskan bentuk integral dari nol hingga tak hingga sebagai rangkaian integral pada periode berturut-turut,

Jika kita substitusikan t = τ + p dalam integral kedua, t = τ + 2p dalam integral ketiga, ..., t = τ + (n – 1)p dalam integral ke-n, ..., maka limit baru dalam setiap integral adalah 0 dan p. Karena ƒ(τ + p) = ƒ(τ) ƒ(τ + 2p) = ƒ(τ) . dan seterusnya, kita peroleh, Faktor yang tidak bergantung pada τ dapat dikeluarkan dari bawah tanda integral, hal ini memberikan,

Serangkaian suku dalam braket [ Serangkaian suku dalam braket [...] adalah serangkaian suku geometrik yang jumlahnya adalah 1/(1 – e-ps). Ini establishes hasil berikut, Transformasi Laplace dari fungsi periodik kontinu ƒ(t) dengan periode p adalah, CONTOH 1. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi gelombang persegi dalam Gambar 1. Penyelesaian:

Kita gunakan persamaan (1) Kita gunakan persamaan (1). Karena p = 2a, kita peroleh dengan integrasi langsung dan simplifikasi,

Karena itu akhirnya didapatkan Kita juga dapat memperoleh hasil yang kurang elegant tetapi sering lebih bermanfaat jika dituliskan dalam bentuk,

CONTOH 2. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi periodik yang dilukiskan dalam Gambar 2. Penyelesaian: Kita lihat bahwa g(t) adalah integral dari fungsi ƒ(t) dengan k = 1 dalam CONTOH1, karena itu dengan transformasi Laplace dari integrasi f(t) persamaan (5) di bab sebelumnya, didapatkan,

CONTOH 3. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi ƒ(t) dengan periode p = 2π/ω sin ωt, jika 0 < t < π/ω ƒ(t) = 0 , jika π/ω < t < 2π/ω Penyelesaian: Dari persamaan (1) kita peroleh, Integrasi ini dapat diselesaikan dengan formula integral parsial,

Substitusikan α = –s, maka didapatkan sehingga, Dengan menggunakan persamaan 1 – e-2πs/ω = (1+ e-πs/ω) (1– e-πs/ω), maka,

Integrasi dari integral parsial menghasilkan, CONTOH 4. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi ƒ(t) = (k/p) t, jika 0 < t < p, ƒ(t + p) = ƒ(t). Penyelesaian: Gambar 4. Gelombang saw-tooth (CONTOH4) Integrasi dari integral parsial menghasilkan,

Kita dapatkan hasil.

Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi staircase CONTOH 5. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi staircase g(t) = k n, [np < t < (n+1)p, n = 0, 1, 2, …]. Penyelesaian: Fungsi g(t) dapat diperoleh dengan mengurangkan fungsi ƒ(t) dari h(t) dimana ƒ(t) seperti diperlihatkan dalam CONTOH4, dan yang memiliki transformasi Laplace, Gambar 5. Fungsi staircase.

Kita tuliskan di sini, g(t) = h(t) – ƒ(t) £ (g) = £ (h) – £ (f)

SOAL-SOAL LATIHAN A. Lukiskanlah fungsi berikut yang diasumsikan memiliki periode 2π dan tentukanlah transformasi Laplacenya. 1. ƒ(t) = π – t (0 < t < 2π) 2. ƒ(t) = t (0 < t < 2π) 3. ƒ(t) = 4π2 – t2 (0 < t < 2π) 4. ƒ(t) = t2 (0 < t < 2π) 5. ƒ(t) = et (0 < t < 2π) 6. ƒ(t) = sin ½t (0 < t < 2π) 7. ƒ(t) = cos ½t (0 < t < 2π) t, jika 0 < t < π 8. ƒ(t) = 0, jika π < t < 2π

Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut: 1. 2.