Pertemuan 4 Vektor 2 dan 3 Dimensi bilqis

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan Vektor Dimensi 3 Dapat menghitung perkalian dan jarak antara 2 vektor bilqis

Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3  Bab 3.1 bilqis

3.1) Vektor -> Pengantar Besaran skalar yang mempunyai arah ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-) Secara geometris, Simbol vektor : v Skalar vektor : v + Vektor : 2 dimensi - * 3 dimensi + - vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Arah panah = arah vektor Panjang panah = besar vektor B v A bilqis

A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal v A vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Vektor-vektor ekivalen Dianggap sama Panjang dan arahnya sama bilqis

Negasi sebuah vektor v  –v secara geometrik Panjang sama, arah berlawanan –v Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v) w v u u w v v w u bilqis

Penjumlahan dua vektor: w = u + v Cara analitik: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3 Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2) w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) w1 = u1 + v1 w2 = u2 + v2 bilqis

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar secara geometrik: v v 3v –2v bilqis

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w = kv = (kv1, kv2) (w1, w2) = (kv1, kv2) w1= kv1 w2 = kv2 bilqis

Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1) Koordinat Cartesius: P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2) P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1) atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x1 dan komponen kedua y1 P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2) atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x2 dan komponen kedua y2 Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1) bilqis

y ( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v v Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 ) Using Coordinat y ( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 ) ( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 ) = ( 1 + 7, -2 + 6 ) = ( 8, 4 ) ( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 ) = ( 1 - 7, -2 - 6 ) = ( -6, -8 ) ( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 ) = ( 4, -8 ) v x w V + w v V - w 4v bilqis

v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) Vektor 3 dimensi z v = ( v1, v2, v3 ) Misal: v = ( 4, 5, 6 ) Mis : v = ( 1, -3, 2 ) w = ( 4, 2, 1 ) ( + ) v + w = ( 5, -1, 3 ) ( - ) v – w = ( -3, -5, 1 ) ( * ) 2 v = ( 2, -3, 4 ) v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) 6 y v 5 4 x P2 v P1 bilqis

Ex 2 hal 124 Example 2: the component of the vector v = P1 P2 with the initial point P1 ( 2, -1, 4 ) And terminal point P2 ( 7, 5, -8 ) are v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 ) in 2-space, the vector with initial point P1 ( x1, y1 ) and terminal point P2 ( x2, y2 ) is P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 ) bilqis

Translasi sumbu-y sumbu-y’ P sumbu-x’ sumbu-x x’ = x – k y’ = y – k (x, y) (x’, y’) y’ P y (0, 0) l x’ sumbu-x’ (k, l) k x sumbu-x (0, 0) x’ = x – k y’ = y – k bilqis

Translasi sumbu-y’ P sumbu-y sumbu-x’ sumbu-x x’ = x - k y’ = y – l pers.Translasi : x’ = x - k y’ = y – l x = x’ + k y = y’ + p Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah koordinat ( x’ , y’ )? Jwb : x’ = x – k y’ = y – l = 2 – 4 = 0 - 1 = -2 = -1 (x, y) (x’, y’) sumbu-y y’ (0, 0) x’ l sumbu-x’ (k, l) x k sumbu-x (0, 0) bilqis

Ex 3 hal 125 Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’-coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1) Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 ) Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1, 5 ) Solutions (a): the translations equations are x’ = x – 4 y’ = y – 1 So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = - 1 Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as x = x’ + 4 y = y’ + 1 So the xy-coordinates of Q are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6 bilqis

Contoh soal Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P jwb : v = ( 4, 5 ) dari titik P so, x’ = 4 y’ = 5 Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat mula-mula ( 0, 0 ) x = k + x’ y = l + y’ = 2 + 4 = 3 + 5 = 6 = 8 Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 ) y y’ v x’ P ( 2, 3 ) x bilqis

Aritmatika vektor Norma sebuah vektor Bab 3.2 bilqis

Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3 Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3 k, l adalah skalar (bilangan real) u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w) u+0 = 0+u = u u+(-u) = (-u)+u = 0 k(lu) = (kl)u k(u+v) = ku + kv (k+l)u = ku + lu 1u = u bilqis

Secara geometrik (digambarkan) Secara analitik (dijabarkan) Bukti teorema 3.2.1.: Secara geometrik (digambarkan) Secara analitik (dijabarkan) Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3 u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3) u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0) = (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3) = v + u = 0 + u = (u1, u2, u3) = u bilqis

k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)) = (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 ) = klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 ) = ku + kv (k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3) = (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3) = k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3) = ku + lu bilqis

Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor) Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| =  u12 + u22 Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| =  u12 + u22 + u32 Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1 bilqis

Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1) jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 bilqis

Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma ku = | k | || u || bilqis

Vektor bisa dinyatakan secara grafik analitik (diuraikan mjd komponennya) Norma v = panjang vektor v = || v || = v1 + v2 v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) d = || v || = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2 Ex: Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14 Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2 = 44 = 2 11 bilqis

Contoh (1): Cari norma dari v = (0, 6, 0) Penyelesaian : Contoh (2): Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4 ||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ] = | k |30 = 4  | k | = 4 / 30  k =  4 / 30 bilqis

d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 =  9 + 9 + 0 = 18 Contoh (3): Carilah jarak antara P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7) P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3) Penyelesaian : d = (5 – 3)2 + (7 – 4)2 =  4 + 9 = 13 d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 =  9 + 9 + 0 = 18 bilqis

PR 3.1 3.f , 4, 6.f , 7, 8, 10, 11 3.2  2.b, 3.f , 4, 5, 6, 7 bilqis