Pertemuan 8 Transformasi Linier 4.2 bilqis

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui matriks-matriks yang digunakan untuk transformasi linier Dapat mengetahui aplikasi transformasi linier bilqis

Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B Fungsi: Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B f A B b a Notasi f : A  B Himpunan A disebut DOMAIN(f) Himpunan B disebut CODOMAIN(f) Tiap elemen A dipasangkan dengan (associated with) satu elemen B Himpunan semua elemen b yang punya pasangan di A disebut RANGE(f) Notasi f(a) = b, b disebut bayangan (image) dari a bilqis

f : Rn  Rm disebut transformasi dan ditulis T : Rn  Rm T adalah transformasi linier jika T(u + v) = T(u) + T(v) penjumlahan dua vektor T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m bilqis

T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor T : Rn  Rm T adalah transformasi linier jika T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n, c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m T Rn Rm T(u) T(v) T(u+v) T(cu) u v u+v cu bilqis

Ex 1 hal 182 bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix T : Rn  Rm Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix (matrix A berukuran m x n) (x1, x2, x3, …, xn)  (w1, w2, …, wm) jika x = (x1, x2, x2, …, xn)T dan w = (w1, w2, …, wm)T maka transformasi dapat “digantikan” dengan persamaan: Ax = w di mana A disebut matriks standar untuk transformasi linier T bilqis

Bilqis 5.10 bilqis

bilqis

Ex 2 hal 183 bilqis

Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap sumbu-x (x, y) (w1, w2) persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y 1 0 w2 = – y = 0x + (–1)y 0 – 1 bilqis

Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap garis y = x (w1, w2) (x, y) persamaan matriks standar w1 = y = 0x + 1y 0 1 w2 = x = 1x + 0y 1 0 bilqis

Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap bidang xy z persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + (–1)z 0 0 –1 bilqis

Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap bidang xz z (x, –y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + (–1)y + 0z 0 –1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap bidang yz z (– x, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = –1x + 0y + 0z –1 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi (x, y) (w1, w2) = (x, 0) pada sumbu-x (x, y) (w1, w2) = (x, 0) persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y 1 0 w2 = 0 = 0x + 0y 0 0 bilqis

Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi (w1, w2) = (0, y) (x, y) pada sumbu-y (w1, w2) = (0, y) (x, y) persamaan matriks standar w1 = 0 = 0x + 0y 0 0 w2 = y = 0x + 1y 0 1 bilqis

Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi proyeksi ortogonal pada bidang xy z (x, y, z) y (x, y, 0) x persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 0z 0 0 0 bilqis

Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi proyeksi ortogonal z pada bidang xz z (x, y, z) (x, 0, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + 0y + 0z 0 0 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi proyeksi ortogonal pada bidang yz z (0, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = 0x + 0y + 0z 0 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

Rotasi operator ilustrasi (w1, w2) (x, y) persamaan matriks standar rotasi dengan sudut rotasi Ө (w1, w2) Ө (x, y) persamaan matriks standar w1 = x cos Ө – y sin Ө x cos Ө – y sin Ө w2 = x sin Ө + y cos Ө x sin Ө y cos Ө bilqis

Rotasi operator ilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z y (w1, w2, w3) (x, y, z) x persamaan matriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  –sin  0 w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z sin  cos  0 w3 = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

Rotasi operator ilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z (x, y, z)  y (w1, w2, w3) x persamaan matriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  0 sin  w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z 0 1 0 w3 = 0x + 0y + 1z –sin  0 cos  bilqis

Rotasi operator ilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z (x, y, z) (w1, w2, w3)  y x persamaan matriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  –sin  0 w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z sin  cos  0 w3 = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

Kontraksi operator ilustrasi Kontraksi ( penyusutan) dengan faktor 0  k  1 z (x, y, z) (w1, w2, w3) y x persamaan matriks standar w1 = kx + 0y + 0z k 0 0 w2 = 0x + ky + 0z 0 k 0 w3 = 0x + 0y + kz 0 0 k bilqis

Dilasi operator ilustrasi Dilasi (pemuaian/perbesaran) dengan faktor k > 1 z (w1, w2, w3) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = kx + 0y + 0z k 0 0 w2 = 0x + ky + 0z 0 k 0 w3 = 0x + 0y + kz 0 0 k bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

Komposisi dua transformasi: u v w T1 T2 T2 ° T1 v = T1(u) w = T2(v) = T2(T1(u)) = ( T2 ° T1 ) (u) bilqis

Komposisi dua transformasi: u v w T1 T2 T2 ° T1 Matriks standar untuk T1 = A1 Matriks standar untuk T2 = A2 Matriks standar untuk T2 ° T1 = (A2)(A1) bilqis

Komposisi dua / lebih transformasi: Tr ° T r-1 ° ……..T2 ° T1 Contoh: u = (–3, 4) T1 refleksi terhadap sumbu-y A1 = -1 0 0 1 T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x A2 = 1 0 0 0 Hasilnya : (3, 0) ? (cek dengan menghitung dan menggambar) bilqis

Komposisi dua / lebih transformasi: Contoh: u = –3 4 T1 refleksi terhadap sumbu-y A1 = -1 0 A1u = v = 3 0 1 4 T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x A2 = 1 0 A2 v = w = 3 0 0 0 A2  A1 = –1 0 (A2  A1 ) u = 3 0 0 0 bilqis

bilqis

Ex 7 hal 193 bilqis

Ex 8 hal 194 bilqis

Ex. 5 hal 202 bilqis

PR 4.2 2,a 2.D 3 4.D 6.D 7.B 8.B 9.C 12.B 13.b bilqis