Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuah matrik A berordo k x k dan merupakan sebuah vektor kolom dari variabel riil dengan ukuran k x 1 , maka q=y΄Ay disebut bentuk kuadrat dalam y dan A disebut matrik dari bentuk kuadrat.

y adalah vektor kolom k x 1, maka y΄ adalah vektor baris 1 x k y adalah vektor kolom k x 1, maka y΄ adalah vektor baris 1 x k. Sehingga q=y΄Ay adalah matrik 1 x 1 dimana elemennya adalah fungsi dari variabel-variabel y1, y2, … , yk. Jika y1, y2, … , yk merupakan nilai numerik maka q adalah suatu skalar. q merupakan fungsi dalam bentuk matrik, jika dinyatakan dalam bentuk jumlah kuadrat dan bentuk perkalian dari y, maka bentuknya adalah

Definisi 2.2. Bentuk kuadrat y΄Ay disebut positive definite jika y΄Ay>0 untuk semua y≠0, disebut positive semidefinite jika y΄Ay≥0 untuk semua y dan y΄Ay=0 untuk beberapa y≠0. Theorema 2.1. Matrik simetris A adalah positive definite jika dan hanya jika semua nilai akar cirinya positif. Theorema 2.2. Matrik simetris A adalah positive semidefinite jika dan hanya jika semua akar cirinya tidak negatif dan minimal satu akar ciri sama dengan nol.

Theorema 2.3. Misalkan A adalah matriks positive definite yang dinyatakan dalam bentuk pastisi sebagai berikut: dimana A11 dan A22 adalah matrik bujur sangkar. Mis juga B=A-1 dimana Dan dimensi dari B11 dan B22 sama dengan dimensi dari A11 dan A22. Maka

Turunan dari Bentuk Kuadrat Suatu skalar z dapat dinyatakan sebagai fungsi dari k variabel y1, y2, … , yk : z=f(y1, y2, … , yk)=f(y) Kita dapat tentukan k turunan parsial dari fungsi di atas, dengan diturunkan terhadap setiap variabel y.

Contoh: dan Diketahui bentuk kuadrat z=y΄Ay, dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

Turunan parsialnya adalah: sehingga:

Definisi 2.3. [Ekpektasi dari vektor random] Vektor dari random variabel E[yi]=μi, i = 1, 2, …, k , maka

Rules of Expectation Jika a sebuah vektor bilangan riil, maka E[a]=a Jika a sebuah vektor skalar k x 1 dan y random vektor k x 1 dengan ekpektasi μ, maka E[a΄y]=a΄E[y]= a΄μ Jika A matrik n x k dan y vektor random k x 1 dengan ekpektasi μ, maka E[Ay]=AE[y]=Aμ

Varians dari vektor random Varians dari variabel random individual Y adalah nilai harapan dari variabilitas pengukuran dari Y disekitar rata-ratanya μ. Pada dua variabel Yi dan Yj dengan rata-ratanya adalah μi dan μj, covariansnya adalah cov[Yi,Yj]=E[(Yi- μi)(Yj- μj)].

Definisi 2.4 Misal: adalah vektor random dengan var Yi=σij=σi2, i= 1, 2, …, k cov(Yi, Yj)= σij, i≠j; dan E[Y]=μ,. Varians dari Y, dinotasikan dengan var Y atau V, adalah matrik k x k : Var Y = V = E[(Y-μ)(Y-μ)΄]

Rules of Variance Jika Y sebuah vektor random dengan Var Y = V. Dan Z= a΄Y dengan a vektor bilangan riil, maka Var a΄Y = a΄Va Y adalah sebuah vektor random dengan Var Y = V, dan A adalah matrik k x k. Jika Z = AY maka Var Z = AVA΄

Misal adalah vektor random dengan var yi = σ2, i=1,2,3 Misal adalah vektor random dengan var yi = σ2, i=1,2,3. Asumsikan bhw y1 , y2 , y3 independen dan berdampak σ12 = σ13 = σ23 = 0. Matriks variance-covariance dari y adalah:

Asumsikan bhw X adalah matrik rank penuh berukuran n x k, sehigga X´X mrpk matrik nonsingular. Jika diketahui z = (X´X )-1 X´y Berdasarkan aturan 2 dengan A = (X´X )-1 X´, diperoleh var z = AVA´= (X´X )-1 X´ σ2I [(X´X )-1 X´]´ = (X´X )-1 X´ (X´)´[(X´X)-1]´ σ2 = (X´X )-1 X´X [(X´X)´] -1 σ2 = (X´X )-1 σ2

Theorema Mis y adalah vektor random k x 1 dengan E[y]=μ dan var y = V Theorema Mis y adalah vektor random k x 1 dengan E[y]=μ dan var y = V. Dan A adalah matrik bilangan riil berukuran k x k. Maka E[y´Ay]=tr(AV)+ μ ´Aμ Bukti: Untuk i≠j σij=E[yi, yj]- μiμj Untuk i=j σij= σii =E[yi2]- μi2

E[y´Ay]