KOMPETENSI Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti. Merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda Membuktikan rumus identitas trigonometri Menentukan luas segitiga yang komponennya diketahui dengan menggunakan fungsi trigonometri Membandingkan nilai sinus, kosinus, dan tangent suatu sudut

1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A Perhatikan Selesaikan 3. Buktikan tan3A.tan2A.tanA=tan3A-tan2A-tanA 4. Hitung nilai sin 54 sin 18 5. Hitunglah Sin26+Sin242+Sin266+Sin278 2. Buktikan bahwa : 1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A

Apa itu sudut Sisi akhir Sisi awal Sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar thd titik pangkalnya ( dari sisi awal ke sisi akhir) Sudut diberi “tanda positive” jika putarannya berlawanan dg putaran jarum jam Sudut diberi “tanda negative ” jika putarannya searah dg putaran jarum jam Besar sudut ditentukan oleh jarak putar yg dilalui dari sisi awal ke sisi akhir Definisi sudut

Satuan sudut : siksagesimal : 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg sama 1bag = 10 Sentisimal : 1 putaran penuh dibagi 400 bag yg sama Radian

maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad) Apa itu radian? sehingga di dapat 1 rad : besar sudut pusat lingkaran yg menghadap pd busur yg panjangnya= jari2 lingkaran 1 jejari 1 jejari 1 rad maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad)

Seberapa besar 1 radian itu? 60° Coba bandingkan Mana yang lebih besar ? 1 rad atau 60º ?

Panjang Busur dan Radian

Hubungan Radian  Derajat Kita putar jejari sejauh 180 r 1 derajat = 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg sama

Ingat: panjang setengah lingkaran = π r rad r  rad = 180

Rumus Perubahan

BET1542 ENG. MATHEMATICS II KESIMPULAN 4 SEMESTER I SESSION 2008/09

Perbandingan trig Ada berapa perbandingan antar sisi dr segitiga siku-siku tsb Diketahui segitiga siku-siku berikut

Sudut istimewa Perbandingan trigonometri sisi-sisi segitiga siku-siku Sudut Istimewa segitiga siku-siku yaitu : 00 2. 30o 3. 450 4. 60o 5. 90o Sudut istimewa

. Untuk  300 dan  600 O B C 1 X 30O A . Segitiga OAB adalah segitiga sama sisi dengan r=1, CB=CA= C 1 oc OC=

Untuk  450 SUDUT ISTIMEWA 1 1 Sin 450 = Cos 450 = Tg 450 = C 450 450 B 1

Untuk  00 SUDUT ISTIMEWA Sin 00 = Cos 00 = Tg 00 = Catatan : X = r Sb. : y Sin 00 = Cos 00 = Y=0 Tg 00 = Sb.: x X=r Catatan : X = r Y = 0

SUDUT ISTIMEWA Untuk  900 Sin 900 = Sin 900 = Cos 900 = Catatan : y = r Cos 900 = Catatan : X = 0 Y = r X = 0

KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA  0O 30O 45O 60O 90O Sin 1 Cos Tg ? Ctg 

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN Sudut di Kuadran I = a Sin bernilai (+) Cos bernilai (+) Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran II = β = (180 - a) Hanya Sin bernilai (+) Sudut di Kuadran III =γ =(180 +a ) Hanya Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -a) Hanya Cos bernilai (+) KUADRAN 2 KUADRAN 1 KUADRAN 4 KUADRAN 3

Perbandingan Trig sudut Berelasi A dalam derajat A: dalam radian

KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIUS

KOORDINAT KUTUB Koordinat Kutub B(r,q)

KOORDINAT KARTESIUS Koordinat kartesius A (x,y) Y X

MENGUBAH KOORDINAT KUTUB MENJADI KOORDINAT KARTESIUS Koordinat kutub B(r,q) Dari diperoleh x = r . cos θ sedangkan diperoleh y = r . sin θ Sehingga didapat Koordinat kartesius B(x,y) = (r.Cosq , r.Sinq)

MENGUBAH KOORDINAT KARTESIUS MENJADI KOORDINAT KUTUB Koordinat kartesius A (x,y) Sehingga koordinat kutub A (r,q)

IDENTITAS TRIGONOMETRI Merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda

Diberikan segitiga siku siku berikut:. The Unit Circle y Diberikan segitiga siku siku berikut:. btk x: (x,y) 1 y x x Btk y: Dan utk nilai tan:

Lingkaran satuan - Pythagoras

   A D E B C G F Segitiga CGF Segitiga AFC Segitiga AEF,

Cause DE  GF DE  AC sin  sin  GF  AC sin  sin  Cause DE  GF DE  AC sin  sin  AE  AC cos  cos  AD  AE  DE AC cos ( + )  AC cos  cos   AC sin  sin  cos ( + )  cos  cos   sin  sin 

TRIGONOMETRIC IDENTITIES BET1542 ENG. MATHEMATICS II TRIGONOMETRIC IDENTITIES Please, prove it! henny SEMESTER I SESSION 2008/09

TRIGONOMETRIC IDENTITIES Identitas trig utk : 5

TRIGONOMETRIC IDENTITIES JUMALH & SELISIH 2 SUDUT 5

TRIGONOMETRIC IDENTITIES SUDUT GANDA: 6

TRIGONOMETRIC IDENTITIES SETENGAH SUDUT: 7

TRIGONOMETRIC IDENTITIES JUMLAH/SELISIH 2 FUNGSI TRIG: 8

TRIGONOMETRIC IDENTITIES BENTUK LAIN: 9

Buktikan Jika A+B+C + D=1800 Buktikan : BET1542 ENG. MATHEMATICS II TRIGONOMETRIC IDENTITIES Buktikan Jika A+B+C + D=1800 Buktikan : cosAcosB+cos Ccos D = sin Asin B +sin C sin D Dalam segitiga ABC , Buktikan tg A +tg B +tg C = tg A tgB tg C 10 SEMESTER I SESSION 2008/09

ATURAN SINUS DAN KOSINUS ATURAN KOSINUS

ATURAN SINUS

Bukti : C a b A B D

ATURAN KOSINUS

Deriving the Law of Cosines Dengan Pythagoras teo C b h a k c - k A B c

Persamaan Trigonometri Bentuk I acos x = b, syarat bahwa -aba cos x = cos x = cos  x =  + k.360; x = -  + k.360 ; kB Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi; Cos x = - ½ , 0 x  360

Cos x = - ½ Cos x = cos 120 x = 120 + k.360 untuk k=0, x1 = 120 x = -120 + k.360 untuk k=1, x2 = 240 Jadi HP = {120, 240}

4sin 2x = -2 Sin 2x = - ½ Sin 2x = sin 210 2x = 210 + k.360 x= 105  + k.180 Untuk k=0, x1= 105  Untuk k =1, x2=285 2x = (180-210)+k.360 2x = -30 + k.360 x = -15 + k.180 Untuk k=1, x3=165, untuk k=2, x4=345 Jadi HP ={105 , 165  , 285, 345}

asin x = b, sin x = sin x = sin  x =  + k. 360; x = -  + k asin x = b, sin x = sin x = sin  x =  + k.360; x = -  + k.360 ; kB Contoh : 4sin 2x = -2 ; 0 x  360

tan x = tan x = tan  x =  + k.180; x = -  + k.180 ; kB Contoh: Tentukan nilai x yg memenuhi, tan x = - , 0 x  360

contoh untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300  Tentukan nilai x yang memenuhi: Cos (x-30).sin(x-120) = 1, 0 x360  Jawab: Sin (2x-30-120) – sin (-30+120)=2 Sin(2x-150) = 2-sin 90 Sin (2x-150 ) = 1 2x -150  = 90  + k .360  2x = 240  + k.360  x= 120  + k.180  untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300  2x -150  = (180  - 90 ) + k .360  (kembali bentuk yg sama)

4. Bentuk a Cos x + b Sin x = c Penyelesaian : a Cos x + b Sin x = c  Misal Tan  = Shg Cos  =  Cos x + Tan  Sin x =

 Syarat ada penyelesaian : atau Contoh : Tentukan x yang memenuhi -3 Cos 2x + Sin 2x = 1 ; 0º  x  360º Jawab : Cara I -3 Cos 2x + Sin 2x = 1

  Cos 2x - Tan 30º Sin 2x =  Cos (2x + 30 ) =  Cos (2x + 30) = Cos 120  2x =90+360x=45 +k 180x1=45,x2 = 225  2x = -150 + k 360  x = -75 + k 180  x3 = 105, x4 = 285 ; HP {45, 105, 225, 285}

5. Bentuk Persamaan Kuadrat a. p Sin2 x + qSin x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -1  Sin x  1 Sin x = atau dengan pemfaktoran b. p Cos2 x + q Cos x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -1  Cos x  1

Cos x = atau dengan pemfaktoran c. p Tan2 x + q Tan x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -  < Tan x <  Tan x =

Contoh : Tentukan x yang memenuhi 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 ; 0º  x  360º Jawab : 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0  7 Sin x -3 (1-2 sin2 x ) + 5 = 0  7 Sin x – 3 + 6 Sin2 x + 5 = 0  6 Sin2 x + 7 Sin x + 2 = 0  (3 Sin x + 2 ) ( 2 Sin x + 1) = 0  3 Sin x + 2 = 0  2 Sin x + 1 = 0  Sin x = -0,66... V sin x = -0,5

Untuk Sin x = -0,66... x = 221,8 + k.380  x1 = 221,8 x = (180 -221,8) + k.360 x = -41,8 + k.360  x2 = 318,2 Untuk sin x = -0,5  x = 210 + k.360  x3 = 210 x = (180 -210) + k 360 x = -30 + k 360  x4 = 330 HP ={ 210º, 221,8º, 318,2º, 330º}