Deret Taylor & Maclaurin

Deret Taylor & Maclaurin Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b. Maka berlaku: dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:

Deret Taylor & Maclaurin dimana   (a, x)

Deret Taylor & Maclaurin Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa : ........... 1)

Deret Taylor & Maclaurin Kemudian akan ditunjukkan bahwa mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy

Deret Taylor & Maclaurin Untuk membuktikan persamaan 1) digunakan induksi matematika. Untuk n = 0

Deret Taylor & Maclaurin Misalkan berlaku untuk n = k

Deret Taylor & Maclaurin Untuk n = k + 1 Perhatikan bentuk misal:

Deret Taylor & Maclaurin

Deret Taylor & Maclaurin dari n = k, diperoleh

Deret Taylor & Maclaurin Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa mempunyai 2 bentuk

Deret Taylor & Maclaurin Menurut teorema nilai rata-rata untuk integral Misalkan maka

Deret Taylor & Maclaurin Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu

Deret Taylor & Maclaurin Misalkan maka

Deret Taylor & Maclaurin Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk sisa, yaitu

Deret Taylor & Maclaurin Sewaktu n berubah, maka umumnya  juga berubah. Jika untuk semua x dan  di dalam [a, b] kita mempunyai , maka persamaan di awal dapat ditulis: Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin

Deret Taylor & Maclaurin Walaupun semua turunan f(x) ada di x = a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).

Deret Taylor & Maclaurin Contoh: Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x  0

Deret-Deret Penting Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan dll

Deret Binomial Bentuknya adalah Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1

Deret Binomial c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1 Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1 Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan (d)