SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL y’=Dy Misalkan kita punya 3 persamaan diferensial y1’(x) = ay1(x) y2’ (x) = by2(x) y3’ (x) = cy3(x) Punya solusi: s1 Punya solusi: s2 Punya solusi: s3 Maka solusi dari sistem y1’(x) = ay1(x) y2’ (x) = by2(x) y3’ (x) = cy3(x) y’=Dy adalah S = s1  s2  s3 7 April 2017 System of Differential Equations

PERSAMAAN DIFERENSIAL TerminologI Salah satu persamaan diferensial yang paling sederhana adalah y’ = ay dengan y=f(x) adalah fungsi yang tak diketahui yang akan dicari, y’=dy/dx adalah turunannya, dan a adalah konstanta contoh Tentukan solusi persamaan diferensial: y’(x) = 2y(x) Solusi Solusi umum dari: y’ = 2y 7 April 2017 System of Differential Equations

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL y’=Ay Mmisalkan kita punya y’=Ay maka, kita dapat mencari solusi sistem tersebut dalam beberapa langkah 1. y’ = Ay 2. misalkan y = P u maka y’ = P u’ , P : matriks nxn dan u : vektor nx1 Pu’ = APu Pilih P matriks yang mendiagonalkan A 3. Kalikan dengan P-1 u’ = P-1APu = D u Diperoleh solusi dari y’=Ay yaitu Y = P u Diperoleh solusi dari u’=Du 7 April 2017 System of Differential Equations

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL y’=Ay Contoh Tentukan solusi umum dan solusi khusus ketika y1(0)=1 dan y2(0)=2 dari sistem persamaan diferensial y1’ = y1 + y2 y2’ = 4y1 – 2y2 Solusi Matriks koefisien umtuk sistem tersebut adalah : Akan dicari nilai eigen dari A =2+-6 =(+3)(-2) =0 Nilai eigen dari A adalah : -3, 2 7 April 2017 System of Differential Equations

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL y’=Ay Solusi Untuk  = 2, substitusi ke (I-A) x = 0, sistem persamaan menjadi Basis bagi ruang eigen yg berpadanan dgn =2 Solusi sistem tersebut adalah x1=t, x2=t, atau Untuk  = -3, substitusi ke (I-A) x = 0, sistem persamaan menjadi Basis bagi ruang eigen yg berpadanan dgn =-3 Solusi sistem tersebut adalah x1=(-1/4)t, x2=t, atau 7 April 2017 System of Differential Equations

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL y’=Ay Solusi (lanjutan) Bentuk matriks P (matriks yang mendiagonalkan A) yaitu dan Solusi dari u’=Du adalah Solusi umum dari sistem persamaan diferensial adalah y = Pu 7 April 2017 System of Differential Equations

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL y’=Ay Solusi (lanjutan) Solusi khusus ketika y1(0)=1 dan y2(0)=2: Selesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh c1=6/5 and c2=4/5 Solusi khususnya adalah 7 April 2017 System of Differential Equations

System of Differential Equations Latihan 1. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut 2. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut 7 April 2017 System of Differential Equations