Limit Distribusi
Pendahuluan X peubah acak berdistribusi b(n,p), maka n=1 X1 berdistribusi b(1,p) n=2 X2 berdistribusi b(2,p) dst maka dikatakan peubah acak X bergantung pada n X peubah acak denganp.d.f : f(x) = 1 ; 0 < x < 1 = 0 ; x lain
.
5.1 Konvergen dalam Distribusi Definisi: Misalnya Fn(y) adalah fungsi distribusi dari variabel acak Yn, n=1,2,…,n. Jika F(y) adalah distribusi dan jika : maka Y1,Y2,…,Yn konvergen dalam distribusi ke variabel random Y dengan fungsi distribusi F(y).
5.2 Konvergen dalam probabilitas Definisi: Barisan X1, X2,X3, . . . Konvergen dalam probabilitas ke peubah acak X, > 0
Contoh: menyatakan mean dari sampel acak ukuran n dari distribusi dengan mean µ dan variansi 2.
Jika µ hingga, maka cukup untuk menjamin konvergen dalam probabilitas. Hasil ini disebut weak law of large numbers Konvergen dalam distribusi lebih lemah dari konvergen dalam probabilitas, sehingga konvergen dalam distribusi sering disebut konvergen lemah.
Teorema: Misal Fn(y) fungsi distribusi dari peubah acak Yn yang bergantung pada integer positif n. Misal c konstanta yang tak bergantung pada n.Barisan Yn, n=1,2,3,… konvergen dalam probabilitas ke c jikka limit distribusi dari Yn degenerate pada y = c Bukti :
Bukti distribusi limit dari Yn degenerate di y = c
Teorema: Jika Xn konvergen ke X dalam probabilitas, maka Xn konvergen ke X dalam distribusi. Bukti : lihat 6th ed Teorema : Jika Xn konvergen ke konstanta b dalam distribusi, maka Xn konvergen dalam probabilitas ke b. Bukti : misal > 0, maka :
5.3 Limit Fungsi Pembangkit Momen Misal peubah acak Yn dengan fungsi distribusi Fn(y) dan M.G.F M(t;n) ada untuk –h < t < h n. Jika ada peubah acak Y dengan fungsi distribusi F(y) dengan M.G.F M(t) terdefinisi untuk |t| h1 < h , demikian sehingga ,maka Yn mempunyai distribusi limit dengan fungsi distribusi F(y)
Contoh 1: Yn berdistribusi b(n,p). µYn = np untuk setiap n, p = µ/n dimana µ konstan.
Contoh 2: Zn berdistribusi 2(n) ,M.G.F dari Zn adalah (1-2t)-n/2 , maka mean =n dan variansi = 2n. Yn=(Z-n)/√n adalah peubah acak yang bergantung n.