Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN BINA INSAN MANDIRI BIM STKIP ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP Materi Pokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua G r u p 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 1. Definisi 2. Teorema Ke Materi Ketiga

Semigrup dan Monoid Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang merupakan struktur aljabar yang paling sederhana. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari operasinya.

Definisi Suatu grupoid (G,+) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan 2. Assosiatif terhadap penjumlahan Contoh Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambang (N,+),(Z,+), (Q,+) dan (R,+).

Definisi Suatu grupoid (G,.) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G, .) tertutup terhadap perkalian 2. Assosiatif terhadap perkalian Contoh Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional dan (R, .) bilangan real.

Contoh Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup. Penyelesaian : Tertutup Misalkan a, b ∈ N a * b = a + b + ab ∈ N maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N.

2. Assosiatif Misalkan a, b, c ∈ N (a. b) 2. Assosiatif Misalkan a, b, c ∈ N (a * b) * c = (a + b + ab) + c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Maka " a, b, c Î N berlaku (a * b) * c = a * (b * c) Jadi, (N,*) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup

Contoh Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut : Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup. . a b c d

Penyelesaian Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan. Misalkan x = a, y = a dan z = a (x . y) . z = (a . a) . a = b . a = d x . (y . z) = a . (a . a) = a . b = c didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c sehingga (x . y) . z ¹ x . (y . z) Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.

Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini : Definisi Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan 2. Assosiatif terhadap penjumlahan 3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan. Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.

Contoh Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0).

Definisi Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G, .) tertutup terhadap perkalian 2. Assosiatif terhadap perkalian 3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.

Contoh Soal Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu satu (1).

Latihan 1. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner x * y = x + y - xy. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup. 2. Dari soal no.2, tunjukan bahwa (N,*) merupakan monoid.

Latihan 3. Tunjukan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ memenuhi sifat-sifat dari : (a). Semigrup; (b). monoid. Jika G suatu grup berhingga, tunjukkan bahwa ada suatu bilangan bulat n sedemikian hingga an = e untuk semua a ∈ G. 4. Misalkan X = {0, 1, 2, 3} dimana X ∈ Z. Diketahui : a * b = c; 3 * 1 = 0; 3 * 2 = 1; 3 * 3 = 2 Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup dan monoid.

Thank You ! Selamat Belajar