Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala Eni Sumarminingsih Jurusan Matematika Fakultas MIPA UNIVERSITAS BRAWIJAYA

PENDAHULUAN Secara umum masalah pemrograman nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut: Tentukan nilai variabel keputusan untuk permasalahan max (atau min) dengan kendala di mana f dan g adalah fungsi nonlinear

PENDAHULUAN Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah : max (atau min) 1.Tentukan semua maksimum (minimum) lokal 2.Tentukan nilai f(x) untuk semua maksimum (minimum) lokal. 3.Nilai f(x) terbesar (terkecil) merupakan solusi optimal

Mencari Ekstremum (Maksimum atau Minimum) Lokal Terdapat tiga kasus di mana calon titik optimal dapat ditemukan, yaitu Titik x* yang terletak pada [a,b] bila f’(x*) = 0 Titik x* ketika f’(x*) tidak didefinisikan. Titik batas a dan b. Masalah akan muncul bila f’(x*) = 0 sulit dievaluasi

Algoritma Golden Section Search (kasus maksimisasi) Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a,b], artinya jika x* adalah titik optimal pada [a,b] maka f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval [a,x*] f(x) adalah fungsi monoton turun pada interval [x*,b]

Algoritma Golden Section Search Konsep Dasar : Penyempitan selang a x1 x3 x* x4 x2 b

Algoritma Golden Section Search Panduan mempersempit selang Jika ,persempit selang menjadi Jika ,persempit selang menjadi [ ] Selang [ ] atau di mana x* mungkin berada dinamakan selang ketidakpastian (SK)

Algoritma Golden Section Search Tetapkan = Interval (selang ketidakpastian) pada iterasi k. selang ketidakpastian untuk iterasi 0 adalah [a,b]. Kemudian evaluasi dan di mana : Dengan = panjang selang ketidakpastian pada iterasi k. Untuk iterasi 0 , = |a – b|. r adalah akar dari persamaan atau r = 0.618. a = batas bawah selang ketidakpastian b = batas atas selang ketidakpastian.

Algoritma Golden Section Search 2. Tentukan Selang Ketidakpastian baru berdasar panduan yang telah dijelaskan sebelumnya. 3. Kembali ke langkah 1 sampai didapat yang cukup kecil

Algoritma Golden Section Search Alasan dipilihnya r yang merupakan akar dari persamaan adalah masalah efisiensi. Bukti Jika , selang dipersempit menjadi sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari

Algoritma Golden Section Search Jika , selang dipersempit menjadi sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari

Algoritma Golden Section Search keistimewaan lainnya adalah dapat diketahuinya banyak iterasi yang akan dilakukan bila diketahui nilai  yang dikehendaki

Algoritma Golden Section Search Iterasi akan berhenti bila karena nilai ln r adalah negatif maka didapat

Contoh aplikasi Max s.t -1  x  3 Iterasi 0 = [-1,3] = |-1 – 3 | = 4 = 3 – 0.618 (4) = 0.528 = -1 + 0.618(4) = 1.472 = [-1, 1.472]

Contoh aplikasi Iterasi 1 = [-1, 1.472] =| -1 – 1.472 | = 2.472 = 1.472- 0.618(2.472) = -0.0557 = -1 + 0.618(2.472) = 0.5277

Penutup Algoritma Golden Section Search dapat digunakan untuk mencari solusi optimal pada Pemrograman Nonlinear Tanpa Kendala dengan Satu Peubah. Algoritma ini efisien

TERIMA KASIH