DERET TAK HINGGA RETNO ANGGRAINI

BARISAN Barisan adalah fungsi yg domainya himpunan bilangan asli Contoh : a1,a2,……,an ditulis {an} Barisan dikatakan konvergen jika : - Limit an = ada n ~ Barisan yang divergen jika Limit an = ~

DERET Deret adalah jumlah dari barisan ~ ∑ an disebut deret n=1 Jumlah parsial ke n dari deret (Sn) merupakan jumlah deret hingga suku ke n Sn = a1 + a2 +a3+……+an

DERET TAK BERHINGGA Deret tak berhingga adalah jumlah dari suatu barisan dengan suku ke n adalah sampai pada batas yang tak terhingga ~ ∑ an disebut deret tak berhingga n=1 karena suku ke n yang diinginkan sampai batas tidak terhingga

Deret konvergen dan divergen Deret konvergen jika barisan {Sn} dari jumlah parsial ke n adalah konvergen Deret divergen jika barisan {Sn} dari jumlah parsial ke n adalah divergen a1 + a2 + …+ an = S jika {Sn} divergen ke ~ maka deret divergen ke ~ jika {Sn} konvergen ke S maka deret konvergen ke S atau jumlahnya sama dengan S

DERET GEOMETRI Deret Geometri = a + ar + ar2+….+arn konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1 jika a = 0 dan lrl < 1 maka ~ ∑ ar n-1 = 1 / (1-r) n=1 jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH DIVERGEN

DERET “P” DERET P ADALAH 1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP Deret akan konvergen jika p > 1 dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1 jika p =1 deret menjadi 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret harmonis dan akan divergen ke ~

DERET EKSPONEN Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)! Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

SIFAT DASAR DERET Jika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret n=1 n=1 ~ ~ Jika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret n=1 n=1 yg konvergen dan k konstanta maka: ∑ (an + bn ) konvergen 2. ∑ k an konvergen ~ n=1 ~ n=1

TES KONVERGENSI Test Deret ∑ an akan divergen jika lim an = 0 n=1 akan konvergen jika lim an=0 2. Test Leibnitz Deret berayun : a1–a2+a3-…+(-1)n-1 a + …. dgn an semuanya pos / neg konvergen jika : i. an ≥ a n+1 utk setiap n ii. Lim an = 0 n ~

Test Perbandingan Deret Positif : ∑ an konvergen jika ada Konvergen positif ∑ bn sedemikian hingga an ≤ bn Divergen positif sede,ikiam hingga an ≥ bn

Test rasio utk deret positif Pada deret positif ∑ an Jika : Lim an+1 < 1, konvergen an > 1, divergen = 1 test gagal

Test Rasio Umum Pada sembarang deret tk berhingga : ∑ an dgn an ≠ 0, utk setiap n Maka jika Lim an+1 < 1, deret konvergen mutlak ~ an > 1, deret divergen = 1 , atau tdk ada, test gagal

Test Integral Andaikan : f(x) continu, tdk negatif dan turun utk 1≤x≤~ Maka deret: ∑ f(n) konvergen Jika ∫ f(x) dx konvergen

Test akar ke n Jika: Lim √ lunl = A Maka : ∑ un Konvergen mutlak kalau A < 1 Divergen kalau A> 1 Tak dpt disimpulkan kalau A=1 n

Konvergensi mutlak Deret : a1+a2+…+an+… disebut konvergen mutlak jika Deret : a1 + a2 + …. + an konvergen Theorama : Jika suatu deret konvergen mutlak maka deret tersebut juga konvergen. Suatu deret yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak disebut konvergen bersyarat

DERET FUNGSI ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya adalah suatu fungsi yaitu : ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit L(x) dinamakan jumlah deret fungsi Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +……. Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x) Selisih L & Sn dinamakan sisa Rn (x) = L(x) – Sn(x) N ~

DERET PANGKAT/deret kuasa Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi pangkat cnxn ∑ = c0 + c1x + c2x2 + …. Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum. Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu : co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….

Daerah konvergensi -R < x-a < R atau a-R < x < a+R Daerah konvergensi utk deret pangkat dlm (x-a) dpt diperoleh dgn : -R < x-a < R atau a-R < x < a+R Dimana Lim cn = R Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergen atau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen. ~ Cn+1

THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga : f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang {a,a+h} f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn Dimana Rn = hn/n! f(n) (a+θh) : 0< θ <1 Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange 2! (n-1)!

DERET TAYLOR jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa : Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret pangkat dari (x-a) maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+… Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa : S = f(a) jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa : S = f(a)+(x-a) f’(a) Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k dari persm polinomial f(x) = 0 adalah: f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0 dan fk(a) ≠ 0 2! 3! 4!

DERET MC LAURIN Merupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0, Maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+.. Shg dgn a = 0 maka: f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+.. =f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+.. 2! 3! 4! 22

DERET BINOMIAL Merupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil, shg : f(x) =(1+x)m : f(0) =1 f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1) f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2) Maka : (1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+.. Dengan x < 1 disebut deret binomial

Contoh