PERTEMUAN VI TURUNAN

1. Definisi Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah : Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi

2. Pencarian turunan Contoh 1. Jika f(x) =13x-6, tentukan f’(4) Contoh 2. Jika f(x) =x2+7x, tentukan f’(c) Contoh 3. Jika f(x) =1/x, tentukan f’(x) Contoh 4. Jika f(x) =x2+x+1, tentukan f’(x) Contoh 5. Jika tentukan f’(x)

3. RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta, maka : f(x+h) = k dan f(x) = k, sehingga : Jadi : Jika f(x) = k, maka f’(x) = 0, untuk k konstanta sebarang

Jika f(x) = x, maka didapatkan f(x+h) = x+h, sehingga : Jadi : Jika f(x) = x , maka f’(x) = 1 dst…. Atau secara umum :

Jika f(x) = xn maka f(x+h) =(x+h)n, untuk n bilangan bulat positif, sehingga didapatkan :

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol Jadi : Jika f(x) = x n, maka f’(x) = nx n-1, untuk n anggota bilangan bulat positif Hal yang sama bisa diperluas, sehingga berlaku untuk semua n anggota bilangan real.

Dengan adanya rumus turunan di atas, maka kita akan lebih mudah menentukan turunan dari suatu fungsi, karena tanpa menggunakan limit terlebih dahulu. Contoh : 1. Jika f(x) = x3 maka f’(x) = 3 x 3-1 = 3 x 2 2. Jika f(x) = x5 maka f’(x) = 5 x 5-1 = 5 x 4

4. TEOREMA TURUNAN FUNGSI Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (k.f(x))’ = k. f’(x) Teorema 2 Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan maka (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x) Teorema 3 Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka (f-g)’(x) = f’(x)-g’(x)

Teorema 4 Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) Teorema 5 Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka

Latihan

5. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = - sin x Jika f(x) = tg x, maka f’(x) = sec 2 x Jika f(x) = ctg x, maka f’(x) = - csc2 x Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tg x Jika f(x) = cosec x, maka f’(x) = - cscx ctg x

Contoh : Tentukan turunan dari : f(x) = 3 sin x – 2 cos x F(x) = sin x cos x F(x) = cot x

6.ATURAN RANTAI TEOREMA A Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit y=f(g(x))=(fog)(x). Jika g terdefferensialkan di x dan f terdefferensialkan di u=g(x), maka fog terdefferensialkan di x dan : (fog)’(x) = f’(g(x))g’(x) Atau : Dxy = Duy Dxu

Contoh Contoh 1 : Jika f(x) = (2x2-4x+1)60,tentukan f’(x) Contoh 2 : Jika f(x) = 1/(2x5-7)6, tentukan f’(x) Contoh 3 : Jika f(x) = sin (x3-3x), tentukan f’(x) Contoh 4 : Jika f(x) = , tentukan f’(x)

Teorema B Aturan Rantai Bersusun: Jika y=f(u) dan u=g(v) dan v=h(x) maka : Dx y = Du y Dv u Dx v

Contoh Contoh 1 : Jika f(x) =sin3(4x), tentukan f’(x) Contoh 2 : Jika f(x) =sin (cos(x2), tentukan f’(x) Contoh 3 : Jika f(x) =x sin2(2x) tentukan f’(x)

Soal Latihan Carilah f’(x)