AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA)

ARIMA: Gabungan dua model, yaitu Model Otoregresi (AR) dan Moving Average (MA). Model AR berbentuk hubungan antara variabel terikat Y dengan variabel bebas yang merupakan nilai Y pada waktu sebelumnya. Model MA menunjukkan ketergantungan variabel terikat Y terhadap nilai-nilai residual pada waktu sebelumnya secara berurutan. Model otoregresi dengan orde p: pengamatan yt dibentuk dari rata-rata tertimbang pengamatan-pengamatan masa lalu, sebanyak p periode ke belakang. Proses tersebut dinyatakan sebagai AR(p) dan modelnya adalah: yt = 1 yt-1 + 2 yt-2 + . . . +p yt-p +  + et Model AR(1) dapat dituliskan dengan: yt = (1 yt-1 +  + et)

Model MA dengan ordo q: mengasumsikan bahwa tiap-tiap observasi dibentuk dari rata-rata tertimbang deviasi (disturbances) q periode ke belakang. Model MA(q) dituliskan sebagai: yt =  + et - 1 et-1 - 2 et-2 - . . . - q et-q Untuk MA(1) model dapat dituliskan dengan: yt =  + et - 1 et-1 Adakalanya proses random yang stasioner tidak dapat dimodel melalui AR (p) atau MA (q) karena proses tersebut mempunyai karakteristik dua-duanya. Oleh karenanya, proses yang semacam ini perlu didekati dengan model campuran antara otoregresi dan moving average yang dikenal dengan model ARMA (p,q). Model ini dinyatakan dalam bentuk: yt = 1 yt-1 +. . . +p yt-p +  + et - 1 et-1 - . . . - q et-q Untuk ARMA (1,1), model adalah sebagai berikut: yt = 1 yt-1 +  + et - 1 et-1

Proses diatas mengasumsikan data stasioner Proses diatas mengasumsikan data stasioner. Bagaimana bila data tidak stasioner?  Transformasi dengan pembedaan (difference). ARMA (p,q)  ARIMA (p,d,q). ‘d’ adalah pembedaan. Model dari proses ARIMA(p,d,q) dinyatakan dalam: (B) d yt =  +  (B) et Model diatas diberikan notasi yang merupakan bentuk sederhana penulisan model, dimana: (B) = 1 - 1B - 2B2 - . . . -pBp  (B) = 1 - 1B - 2B2 - . . . -qBq Bagaimana mengestimasi koefisien model? Metode Yule-Walker  Dalam kuliah ini tidak akan dijelaskan karena membutuhkan waktu yang cukup lama  Akan dimanfaatkan output EViews atau SPSS.

Metode Box Jenkins Metode Box Jenkins  Mendapat Model ARIMA yang paling tepat. Pada dasarnya, metode ini menggunakan pendekatan iteratif, dengan empat tahapan dalam menentukan model yang cocok. Tahapan tersebut adalah: Identifikasi  Mencari atau menentukan p,d dan q dengan bantuan korelogram otokorelasi dan korelogram parsial otokorelasi. Estimasi Tes Diagnostik  residual White Noise? Ramalan.

IDENTIFIKASI Model Pola ACF Pola PACF AR(p) Menyusut secara eksponensial Ada tiang pancang sampai lag p MA(q) Ada tiang pancang yang jelas sampai lag q ARMA(p,q)

KORELOGRAM AR(1) PACF Untuk AR(1) ACF Untuk AR(1)

KORELOGRAM MA(1) PACF untuk θ positif ACF Untuk MA(1)

Untuk ARMA(p,q)  sulit menetapkan p dan q ARIMA(p,d,q)  sulit ditentukan dengan tepat. Korelogram tetap dapat digunakan sebagai sinyal untuk menetapkan ARMA(p,q) dan ARIMA(p,d,q) berdasarkan AR dan MA  Belum tentu tepat. Perlu disiapkan beberapa alternatif model untuk diuji manakah yang tepat  prinsip Metode Box Jenkins. Setelah dipersiapkan  tahap selanjutnya untuk memilih model.

Estimasi dan Diagnostik Estimasi  Metode Yule – Walker  Output EViews dan SPSS Diagnostik  apakah residual white noise? Pengujian: Gunakan korelogram White Noise jika tidak ada residual yang signifikan (melampaui garis ‘Barlett’) Uji lain: Statistik Q, dengan formulasi: Q = T  r2k  2k-p-q Pada intinya, bila Q terhitung lebih besar dari 2k-p-q ,5% kita yakin dengan 95% bahwa tidak semua k = 0. Bila hal ini terjadi, sudah barang tentu berarti residualnya tidak merupakan white noise. Bagaimana jika ada dua atau lebih model yang White Noise? Gunakan: AIC, SIC, Loglikelihood, R2 adj

ANALISIS MATA UANG YANG BEREDAR (M1) Data stasioner?

Pembedaan 1 Data stasioner? Meragukan?  ADF

ADF Test Statistic -5.713418 1% Critical Value* -4.1135 5% Critical Value -3.4836 10% Critical Value -3.1696 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(M1,2) Method: Least Squares Date: 09/19/04 Time: 16:38 Sample(adjusted): 1998:05 2003:05 Included observations: 61 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(M1(-1)) -1.632112 0.285663 0.0000 D(M1(-1),2) 0.322046 0.218254 1.475554 0.1457 D(M1(-2),2) 0.128985 0.133493 0.966233 0.3381 C 2341.482 1568.758 1.492570 0.1412 @TREND(1998:01) 4.023247 39.36902 0.102193 0.9190 R-squared 0.635700 Mean dependent var 190.9180 Adjusted R-squared 0.609679 S.D. dependent var 8662.735 S.E. of regression 5412.105 Akaike info criterion 20.10908 Sum squared resid 1.64E+09 Schwarz criterion 20.28210 Log likelihood -608.3268 F-statistic 24.42988 Durbin-Watson stat 1.946227 Prob(F-statistic) 0.000000

Berdasarkan Korelogram, bagaimana model ARIMA-nya? Hasil Estimasi: Dependent Variable: D(M1) Method: Least Squares Date: 09/19/04 Time: 17:01 Sample(adjusted): 1998:03 2003:05 Included observations: 63 after adjusting endpoints Convergence achieved after 146 iterations Backcast: OFF (Roots of MA process too large for backcast) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1739.835 182.5051 9.533075 0.0000 AR(1) 0.507934 0.107304 4.733605 MA(1) -1.138817 0.041948 -27.14807 R-squared 0.321617 Mean dependent var 1574.571 Adjusted R-squared 0.299005 S.D. dependent var 5474.096 S.E. of regression 4583.212 Akaike info criterion 19.74464 Sum squared resid 1.26E+09 Schwarz criterion 19.84669 Log likelihood -618.9560 F-statistic 14.22283 Durbin-Watson stat 1.919021 Prob(F-statistic) 0.000009 Inverted AR Roots .51 Inverted MA Roots 1.14

Residualnya White Noise?

Penulisan Fungsi Berdasar Output EViews Nilai-nilai koefisien yang didapat berdasarkan output EViews, tidak secara langsung merupakan koefisien dari fungsi atau persamaan ARIMA (p,d,q) yang telah ditetapkan. Model AR(p) Dalam EViews, model AR(p) dituliskan dengan: yt = δ + ut dimana: ut = ρ1 ut-1 + ρ2 ut-2 + ρ3 ut-3 +......+ ρp ut-p + εt Perhatikan model diatas, berbeda dengan model umum AR(p). Agar persamaan yang didapat sesuai dengan model umumnya, maka harus dilakukan penyelesaian secara manual. Sebagai contoh, kita lihat model yang paling sederhana, yaitu AR(1), yang penurunannya adalah sebagai berikut:

AR(1): yt = δ + ut = δ + ρ1 ut-1 + εt Oleh karena: yt = δ + ut, maka: ut = yt – δ, sehingga: ut-1 = yt-1 – δ Dengan demikian, model AR(1) dapat dituliskan dengan: yt = δ + ρ1 (yt-1 – δ) + εt = (1- ρ1) δ + ρ1 yt-1 + εt. Bila pada output ditemukan nilai koefisien untuk variabel AR(1) = 0,5  Artinya: ρ1=0,5, sehingga model yang didapat: yt = (1- 0,5) δ + 0,5 yt-1 = 0,5 δ + 0,5 yt-1. Bila pada output C = 1700  δ = 1700, sehingga persamaan: yt = 0,5 (1700) + 0,5 yt-1 = 850 + 0,5 yt-1 Untuk model-model AR dengan orde yang lebih tinggi, tekhnik penyelesaiannya kurang lebih sama dengan AR(1) diatas.

Model MA(q) Sama dengan model AR(p), model MA(q) juga didefinisikan dengan: yt = δ + ut dimana: ut = εt + θ1 εt-1 + θ2 εt-2 + θ3 εt-3 +......+ θq εt-q Untuk model MA ini ternyata hampir tidak berbeda dengan model umum MA sebagaimana yang telah dipelajari. Perhatikan model MA(1) berikut: yt = δ + ut = δ + εt + θ1 εt-1 Sedang model yang pernah dipelajari adalah: yt =  + et - 1 et-1 Terlihat bahwa yang membedakan keduanya adalah tanda koefisien. Bila pada output ditemukan nilai koefisien untuk variabel MA(1) = -1.14  θ1 = -1,14, dan C = 1700, maka model yang didapat: yt = 1700 – 1,14 εt-1

Model ARMA(p,q) Model ARMA(p,q) juga didefinisikan sebagai: yt = δ + ut dimana: ut = ρ1 ut-1 + ρ2 ut-2 + ρ3 ut-3 +......+ ρp ut-p + εt + θ1 εt-1 + θ2 εt-2 + θ3 εt-3 +......+ θq εt-q Sekarang perhatikan model ARMA(1,1) berikut: ARMA(1,1): yt = δ + ut = δ + ρ1 ut-1 + εt + θ1 εt-1 Ingat kembali bahwa: yt = δ + ut, maka: ut = yt – δ, sehingga: ut-1 = yt-1 – δ Sehingga model ARMA(1,1) dapat dituliskan dengan: yt = δ + ρ1 (yt-1 – δ) + εt + θ1 εt-1 = (1- ρ1) δ + ρ1 yt-1 + εt + θ1 εt-1 Perhatikan model diatas, ternyata merupakan pertambahan antara model AR(1) dan MA(1) yang telah kita selesaikan diatas.

Bila pada output ditemukan nilai koefisien: AR(1) = 0,5 MA(1) = -1.14 C = 1700 Maka model ARMA(1,1) adalah: yt = 0,5 (1700) + 0,5 yt-1 = 850 + 0,5 yt-1 – 1,14 εt-1 AR(1) MA(1)

Model ARIMA(p,d,q) Model untuk ARIMA sedikit berbeda, karena kita harus memperhitungkan pembedaan yang telah dilakukan Model dalam EViews: yt - yt-1 = δ + ut Persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi: (1). yt = yt-1 + δ + ut (2). ut = yt - yt-1 - δ dan ut-1 = yt-1 - yt-2 - δ Model umum ARIMA(p,d,q) dapat kita tuliskan dengan langsung mensubstitusi persamaan ARMA dengan persamaan (1) dan (2) diatas. Untuk memudahkan pemahaman, berikut akan diberikan contoh penjabaran dari model ARIMA (1,1,1).

Kita telah ketahui bahwa ut untuk ARMA(1,1) ditulis dengan: ut = ρ1 ut-1 + εt + θ1 εt-1 Dengan mensubstitusi persamaan (2), didapat: ut = ρ1 (yt-1 - yt-2 – δ) + εt + θ1 εt-1 Persamaan ini kita substitusi kembali ke persamaan (1), sehingga menjadi: yt = yt-1 + δ + ρ1 (yt-1 - yt-2 – δ) + εt + θ1 εt-1 yt = (1- ρ1) δ + (1 + ρ1) yt-1 - ρ1yt-2 + εt + θ1 εt-1 Untuk Analisis M1 ARIMA(1,1,1) dengan nilai koefisien: AR(1) = 0,5 MA(1) = -1.14 C = 1739 Maka model ARIMA(1,1,1) adalah: yt = (1- 0,5) 1739 + (1+ 0,5) yt-1 - 0,5 yt-2 – 1,14εt-1 yt = 869,5 + 1,5 yt-1 - 0,5 yt-2 – 1,14εt-1

Model ARIMA(2,1,2): Diketahui: (1). yt = yt-1 + δ + ut (2). ut = yt - yt-1 - δ dan ut-1 = yt-1 - yt-2 - δ serta ut-2 = yt-2 - yt-3 - δ ut = ρ1 ut-1 + ρ2 ut-2 + εt + θ1 εt-1+ θ2 εt-2 Substitusikan persamaan (2): ut = ρ1 (yt-1 - yt-2 – δ) + ρ2 (yt-2 - yt-3 - δ) + εt + θ1 εt-1+ θ2 εt-2 ut = -(ρ1 + ρ2) δ + ρ1 yt-1 + (ρ2 - ρ1) yt-2 – ρ2 yt-3 + εt + θ1 εt-1+ θ2 εt-2 Substitusikan persamaan diatas kedalam persamaan (1), sehingga: yt = yt-1 + δ + -(ρ1 + ρ2) δ + ρ1 yt-1 + (ρ2 - ρ1) yt-2 – ρ2 yt-3 + εt + θ1 εt-1+ θ2 εt-2 yt = (1 - ρ1 - ρ2) δ + (1 + ρ1) yt-1 + (ρ2 - ρ1) yt-2 – ρ2 yt-3 + εt + θ1 εt-1+ θ2 εt-2