IDENTITAS TRIGONOMETRI I.Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut. II. Rumus Trigonometri Sudut Ganda. III. Rumus Sinus , Cosinus, dan Tangen Sudut pertengahan. IV. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus. Klik Shapes Untuk ke subbab materi Atau keluar Keluar Program Selanjutnya

IV. IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas Trigonometri atau kesamaan trigonometri adalah identitas atau Kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut. Sebuah Identitas trigonometri dapat ditunjukan kebenarannya dengan cara : 1. Mengubah salah satu bentuk ruas sehingga didapat bentuk yang sama dengan ruas yang lainnya. 2. Mengubah masing-masing ruas sehingga didapat bentuk yang sama. Rumus-rumus yang digunakan untuk menunjukan kebenaran suatu identitas Trigonometri antara lain adalah Rumus Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, Rumus Trigometri sudut ganda, Rumus perkalian sinus dan cosinus, Rumus jumlah dan selisih pada sinus dan cosinus, Rumus-rumus kebalikan, Rumus-rumus Perbandingan, Rumus-rumus Phytagoras dan Rumus-rumus trigonometri sudut Berelasi. Ke Menu Utama Sebelumnya

A. Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut. I.Rumus Cos (α ± β) Y Sebuah Lingkaran dengan jari-jari 1 satuan (disebut lingkaran satuan ), sehingga titik A (1,0). Misal AOB = α , dan ⦟BOC = β, maka : ⦟AOC = ⦟ AOB + ⦟ BOC = α+β. Dengan Mengambil sudut pertolongan ⦟AOD = -β, Maka ∆AOC kongruen dengan ∆BOD. Akibatnya AC = BD atau AC² = BD²…………….(i) Ingat-ingat………..! C • B • β α • X O -β A • D Koordinat Cartesius dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (r Cos α, r Sin α) ,sehingga Titik B (Cos α, Sin α) Titik C (Cos (α+β), Sin (α+β) Titik D (Cos(-β),Sin(-β) = (Cos β,-Sin β) Ingat jari-jari lingkaran r = 1 Ke Menu Utama Selanjutnya

Selesaikan Yu….K! Catatan : Cos (-β) = Cos β Sin (-β) = - Sin β Dengan menggunakan rumus antara dua titik diperoleh : I. Titik A (1,0) dan titik C (Cos (α+β), Sin (α+β) AC² = (Cos (α+β) – 1)² + (Sin (α+β) – 0)² AC² = Cos² (α+β) – 2Cos (α+β) + 1 + Sin² (α+β) AC² = {Cos² (α+β) + Sin² (α+β)} + 1 – 2Cos (α+β) 1 AC² = 2 – 2Cos (α+β)………………………..(ii) II. Titik B (Cos α, Sin α) dan D (Cos β,-Sin β) BD² = (Cos β - Cos α)² + (-Sin β - Sin α)² BD² = (Cos²β - 2 Cos α Cos β + Cos²α + Sin²β + 2 Sin α Sin β + Sin²α BD² = (Cos²β + Sin²β) + (Cos²α + Sin²α) - 2 Cos α Cos β + 2 Sin α Sin β 1 1 BD² = 2- 2Cos α Cos β + 2 Sin α Sin β………………………..(iii) Karena AC² = BD², maka diperoleh hubungan : 2 - 2 Cos (α+β) = 2- 2Cos α Cos β + 2 Sin α Sin β Jadi, Cos (α+β) = Cos α Cos β ̶ Sin α Sin β Jika sudut β diganti dengan sudut –β maka diperoleh : Cos (α+(-β)) = Cos α Cos (–β) - Sin α Sin (–β) Cos (α – β) = Cos α Cos β - Sin α -Sin β Jadi, Cos (α – β) = Cos α Cos β + Sin α Sin β Catatan : Cos (-β) = Cos β Sin (-β) = - Sin β Tan (-β) = Tan β Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Maka, Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β II. Rumus Sin (α ± β) Rumus Sin (α ± β) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sudut berelasi (i) (ii) (iii) Cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β Berdasarkan rumus diatas diperoleh hubungan : Maka, Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Jika sudut β diganti dengan sudut –β maka berlaku Hubungan: Sin (α+(-β) = sin α cos(-β) + Cos α sin(-β) Sin (α – β ) = sin α cos β) + Cos α –sin β Sin (α ̶ β ) = sin α cos β) ̶ Cos α sin β Jadi ,Sin (α ̶ β ) = sin α cos β) ̶ Cos α sin β Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

III. Rumus untuk tan (α ± β) Berdasarkan rumus perbandingan , maka Jadi, Jika sudut β diganti dengan sudut –β maka berlaku Hubungan: Jadi, Ke Menu Utama Sebelumnya

B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda. Misalkan α adalah sudut tunggal, maka dua kali sudut α ditulis 2α , disebut juga Sudut ganda, trigonometri sudut ganda, yaitu sin 2α, cos 2α , dan tan 2α. Rumus sin 2α perhatikan kembali rumus , sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β apabila sudut β diganti dengan α atau substitusi β = α, maka rumus diatas menjadi: sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α sin 2α = sin α cos α + cos α sin α, ingat sin α cos α = cos α sin α sin 2α = 2 sin α cos α Jadi, Rumus sin 2α = 2 sin α cos α Rumus cos 2α perhatikan kembali rumus , cos (α+β) = cos α cos β ̶ sin α sin β apabila sudut β diganti dengan α atau substitusi β = α, maka rumus diatas menjadi: cos (α+α) = cos α cos α ̶ sin α sin α cos 2α = cos²α ̶ sin²α Jadi ,Rumus cos 2α = cos²α ̶ sin²α Ke Menu Utama Selanjutnya

Bentuk lain dari rumus Cos 2α, dapat ditentukan dari rumus Sin²α + Cos²α = 1 Sin²α = 1 ̶ Cos²α atau Cos²α = 1 ̶ Sin²α , dengan substitusi rumus-rumus tersebut ke dalam rumus Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α, maka : (i) Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α (ii) Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α Cos 2α = Cos²α ̶ (1 ̶ Cos²α ) Cos 2α = (1 ̶ Sin²α) ̶ Sin²α Cos 2α = 2Cos²α ̶ 1 dan Cos 2α = 1 ̶ 2 Sin²α Jadi, bentuk lain dari rumus Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α adalah , Cos 2α = 2Cos²α ̶ 1 dan Cos 2α = 1 ̶ 2 Sin²α III. Rumus Tan 2α Perhatikan kembali rumus apabila sudut β diganti dengan α atau substitusi β = α, maka rumus di atas menjadi Jadi, rumus Catatan : Rumus Tan 2α dapat dihitung dengan rumus perbandingan , Ke Menu Utama Sebelumnya

C. Rumus Sinus ,Cosinus, dan Tangen Sudut pertengahan. Perhatikan kembali rumus Cos 2α, Cos 2α = 1 ̶ 2 Sin²α 2 Sin²α = 1 ̶ Cos 2α Dengan mengganti atau substitusi α = ½θ, kepersaman di atas, diperoleh: B. Rumus Cos ½θ Perhatikan kembali rumus Cos 2α, Cos 2α = 2Cos²α ̶ 1 2Cos²α = 1 + Cos 2α Dengan mengganti atau substitusi α = ½θ, kepersaman di atas, diperoleh: Ke Menu Utama Selanjutnya

C. Rumus Tan ½θ Substitusi , Pada Jadi, rumus dan Catatan : Tanda ( + ) diambil jika sudut ½θ terletak dikudran I atau III, sedangkan tanda( ̶ ) diambil jika sudut ½θ terletak dikudran II atau IV Ke Menu Utama Sebelumnya

D. Bentuk lain dari rumus tan ½θ bagian pembilang atau penyebut : rumus tan ½θ dapat diubah dalam bentuk lain dengan cara mengubah bagian pembilang atau penyebut : (i) Jadi bentuk lainnya , (!!) Jadi ,bentuk lainya Ke Menu Utama Selanjutnya

D. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Rumus-rumus untuk 2 sin α cos β dan 2 cos α sin β I. Rumus 2 sin α cos β Perhatikan kembali rumus jumlah dan selisih pada sinus jika rumus tersebut dijumlahkan maka : sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α ̶ β) = sin α cos β) ̶ cos α sin β + sin (α + β) + sin (α ̶ β) = 2 sin α cos β Jadi, 2 cin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β) II. Rumus 2 cos α sin β Jika rumus tersebut di kurangkan ,maka diperoleh: sin (α ̶ β) = sin α cos β) ̶ Cos α sin β ̶ sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) = 2 cos α sin β Jadi, 2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) Ke Menu Utama Selanjutnya

Rumus 2 cos α cosβ dan 2 sin α sin β I. Rumus 2 Cos α Cos β Perhatikan kembali rumus jumlah dan selisih pada Cosinus jika rumus tersebut dijumlahkan maka : cos (α + β) = cos α cos β ̶ sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β + cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cosβ Jadi, 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) II. Rumus 2 sin α sin β Jika rumus tersebut di kurangkan ,maka diperoleh: cos (α + β) = cos α cos β ̶ sin α sin β ̶ cos (α + β) ̶ cos (α – β) = ̶ 2 sin α sin β Jadi, 2 sin α sin β = ̶ {cos (α + β) ̶ cos (α – β)} Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Perhatikan kembali rumus-rumus dibawah ini Sin (α + β) + Sin (α ̶ β) = 2 Sin α Cos β Sin (α + β) ̶ Sin (α ̶ β) = 2 Cos α Sin β Cos (α + β) + Cos (α – β) = 2 Cos α Cos β Cos (α + β) ̶ Cos (α – β) = ̶ 2 Sin α Sin β Dengan menetapkan Variabel-variabel baru α + β = A dan α ̶ β = B, diperoleh hubungan antara α dan β dengan A dan B sebagai berikut : α + β = A α ̶ β = B + 2α = A + B α = ½ (A + B) Selanjutnya nilai-nilai (α + β) = A, (α ̶ β) = B, α = ½ (A + B) dan β = ½ (A ̶ B) disubstitusikan ke masing-masing persamaan di atas, maka akan diperoleh : sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B) α + β = A α ̶ β = B ̶ 2β = A ̶ B β = ½ (A ̶ B) Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Rumus-rumus tersebut dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran Identitas trigonometri yang lebih umum, untuk lebih jelas simaklah beberapa Contoh berikut ini……..ok! 1 = ••••••••••• ? Ke Menu Utama Sebelumnya