6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

6.1.2 Metode Newton Metode interpolasi Newton menggunakan polinom yang berasal dari metode interpolasi linier, kuadrat, atau derajad yang lebih tinggi, sesuai dengan kebutuhan. Polinom-polinom yang sudah dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membangun polinom dengan derajad yang lebih tinggi yang disusun secara rekursif. Pada interpolasi langsung, seperti interpolasi linier, kuadrat atau yang lebih tinggi, polinom-polinom sebelumnya tidak dapat digunakan jika kita meningkatkan derajad polinom. Artinya kita harus menghitung ulang koeffisien-koefisien a0, a1, a2, …

Bentuk umum polinomial yang digunakan pada metode interpolasi selisih terbagi Newton adalah pn(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) + … + bn(x – x0)(x – x1)… (x – xn–1) (6.5) Untuk x = x0, didapat b0 = f (x0) (6.6) (6.7) (6.8)

Koefisien-koefisien b0, b1,…, dan bn adalah nilai selisih- terbagi dan selanjutnya pers. (6.6 s.d. 6.8) ditulis menjadi, (6.9) (6.10) (6.11) ⋮ (6.12)

Substitusi persamaan (6.9) s.d. (6.12) ke pers. (6.5) didapat, pn(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] + … + (x – x0)(x – x1)… (x – xn–1) f [xn, xn –1,…, x0] (6.13) Persamaan (6.13) adalah polinom interpolasi selisih-terbagi Newton. f [x1, x0] adalah selisih-terbagi pertama f [x1, x1, x0] adalah selisih-terbagi ke dua f [xn, xn –1,…, x0] adalah selisih-terbagi ke n Karena interpolasi Newton disusun dari polinom selisih-terbagi, maka Metode Interpolasi Newton sering disebut Metode Interpolasi Selisih-Terbagi Newton (Newton’s Divided Difference Interpolation).

Salah satu cara untuk menghitung nilai selisih-terbagi adalah dengan menggunakan tabel berikut. xi f (xi) Selisih Terbagi-1 Selisih Terbagi-2 Selisih Terbagi-3 x0 f (x0) f [x1, x0] f [x2, x1] f [x3, x2] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1] f [x3, x2, x1, x0] 1 x1 f (x1) 2 x2 f (x2) 3 x3 f (x3)

Dari tabel berikut tentukan nilai f (3,2) dengan Contoh 6.3 Dari tabel berikut tentukan nilai f (3,2) dengan menggunakan polinom derajat 1, 2, dan 3. xi f (xi) 3 1047,248 4 1162,174 6 1278,663 7,5 1396,578 Penyelesaian

p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] 3 1047,248 1 4 1162,174 2 6 1278,663 7,5 1396,578 114,926 58,2445 78,61 -18,89383 5,8187143 5,491677 p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] p1(3,2) = 1047,248+114,9260(3,2–3) = 1070,233 p2(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] p2(3,2) = 1047,248+114,9260 (3,2–3) –18,89383(3,2–3)(3,2–4) = 1073,256

i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] 114,9260 3 1047,248 1 4 1162,174 2 6 1278,663 7,5 1396,578 114,9260 -18,89383 58,24450 5,491677 5,818714 78,61000 p3(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] + (x – x0)(x – x1)(x – x2) f [x3, x2, x1, x0] p3(3,2) = 1047,248+114,9260(3,2–3) –18,89383(3,2–3)(3,2–4) + 5,491677(3,2 – 3)(3,2 – 4)(3,2 – 6) = 1075,716

Galat Interpolasi Selisih-Terbagi Newton Galat sejati E(x) dihitung dengan rumus E(x) = f(x) – fn(x) (6.14) f(x) = fungsi sebenarnya. fn(x) = fungsi interpolasi polinomial 2. Galat rata-rata ER (x) dihitung dengan rumus (6.15) 3. Galat taksiran EA (x) dihitung dengan rumus EA (x) = (x – x0)(x – x1) … (x – xn) f [xn+1, xn, xn-1, … , x0] (6.16)

Galat sejati dan galat rata-rata hanya dapat dihitung jika fungsi sebenarnya diketahui. Jika tidak diketahui maka digunakan taksiran galat. Galat yang terjadi adalah minimum jika nilai titik pada data terletak di tengah atau mendekati tengah selang. Contoh 6.4 Dari tabel berikut tentukan nilai f (4,8) sedemikian rupa, sehingga galat taksiran interpolasi mencapai minimum. x 1 3 5 7 9 f (x) 27,8 39,4 42,0 38,6 34,2

Untuk polinom derajat 1 selang yang dipilih [3, 5] Penyelesaian x 1 3 5 7 9 f (x) 27,8 39,4 42,0 38,6 34,2 Untuk polinom derajat 1 selang yang dipilih [3, 5] polinom derajat 2 selang yang dipilih [3, 7] polinom derajat 3 selang yang dipilih [1, 7]

Untuk polinom derajat 1 selang yang dipilih [3, 5] i xi f (xi) f [x1, x0] 3 39,4 1,3 1 5 42,0 p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] = 39,4 + (4,8 – 3)(1,3) p1(4,8) = 41,74 Untuk polinom derajat 2 selang yang dipilih [3, 7] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] 3 39,4 1,3 –1,7 –0,75 1 5 42,0 2 7 38,6 p2(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] p2(4,8) = 39,4 + (4,8–3)(1,3) + (4,8 – 3)(4,8 – 5)(–0,75) = 42,01

Untuk polinom derajat 3 selang yang dipilih [1,7] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1 , x0] 1 27,8 5,8 1,3 –1,7 –1,125 –0,75 0,0625 3 39,4 2 5 42,0 7 38,6 p3(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] + (x – x0)(x – x1)(x – x2) f [x3, x2, x1, x0] p3(4,8) = 27,8 + (4,8–1)(5,8) + (4,8 – 1)(4,8 – 3)(–1,125) + (4,8 – 1)(4,8 – 3)(4,8 – 5)(0,0625) = 42,0595

EA (x) = (x – x0)(x – x1)(x – x3) f [x4, x3, x2, x1, x0] i xi f (xi) Galat taksiran EA (x) = (x – x0)(x – x1)(x – x3) f [x4, x3, x2, x1, x0] i xi f (xi) f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] 1 27,8 5,8 1,3 –1,7 –2,2 –1,125 –0,75 0,975 0,0625 0,2875 3 39,4 2 5 42,0 7 38,6 4 9 34,2 f [x4, x3, x2, x1, x0] 0,225 EA (x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(0,225) EA (4,8) = (4,8–1)(4,8–3)(4,8–5) (0,225) = – 0,30787

Grafik hasil interpolasi derajat 3 vs Data

6.1.3 Metode Newton-Gregory Jika titik-titik pada data mempunyai jarak yang sama maka rumus interpolasi Newton dapat disederhanakan karena tidak ada proses pembagian, sehingga tabel pada metode interpolasi Newton-Georgory disebut tabel selisih saja; bukan tabel selisih-terbagi. Ada 2 jenis metode Interpolasi Newton-Gregory yaitu metode selisih maju dan selisih mundur. a) Metode Selisih Maju Polinom selisih maju dibangun berdasarkan tabel selisih maju. Jika terdapat k buah titik, maka terdapat (k – 1) besaran selisih maju, yaitu selisih maju pertama sampai ke (k – 1). Berikut diberikan contoh tabel selisih maju untuk 5 buah titik.

Tabel Selisih-Maju x f(x) f 2f 3f 4f x0 x1 x2 x3 x4 f0 f1 f2 f3 f4 f0 f1 f2 f3 2f0 2f1 2f2 3f0 3f1 4f0  adalah lambang selisih maju f0 = f(x0), f1 = f(x1), f2 = f(x2), …, fk = f(xk). f0 = f1 – f0, f1 = f2 – f1, …, fk = fk+1 – fk. 2f0 = f1 – f0, 2f1 = f2 – f1 , …, 2fk = fk+1 – fk Bentuk umum nfk = n–1fk+1 – n–1 fk (6.17)

Dari metode selisih-terbagi Newton diketahui bahwa jika sebuah tabel mempunyai jarak yang sama, misal h, maka titik-titik pada tabel tersebut dapat ditulis x0, x1 = x0+ h, x2 = x0 + 2h, …, xn = x0 + nh (6.18) Dari rumus selisih terbagi pada pers. (6.10) s.d. (6.12), serta persamaan (6.17) dan (6.18) didapat rumus selisih, (6.19) (6.20)

Dari persamaan (6.19) dan (6.20) didapat rumus umum selisih menjadi (6.21) Substitusi persamaan (6.19) s.d. (6.21) ke persamaan (6.13) didapat, (6.22) Karena titik-titik data mempunyai jarak yang sama, maka xi = x0 + ih , i = 0, 1, 2,… , n dan nilai x yang diinterpolasikan x = x0 + sh, sR (6.23)

Jika xi dan nilai x yang diinterpolasikan disubstitusi ke persamaan (6 Jika xi dan nilai x yang diinterpolasikan disubstitusi ke persamaan (6.22), didapat (6.24) Persamaan (6.24) dapat ditulis menjadi bentuk rekursif, (6.25)

Contoh 6.5 Sebuah tabel yang berasal dari fungsi f(x) = 1/(1+2x2) mempunyai jarak antar titik h = 0,20. Bentuk tabel selisih maju derajat 3 dan hitung f(0,72) Penyelesaian x f(x) 0.00 1.000 0.20 0.926 0.40 0.758 0.60 0.581 0.80 0.439 1.00 0.333 1.20 0.258 Karena tabel selisih maju derajat 3 dan titik dan x = 0,62 terletak diantara titik x = 0,60 dan x = 0,80, maka titik-titik yang diambil adalah x0 = 0,40, x1 = 0,60, x2 = 0,80, x3 = 1,00 Dari persamaan (6.23) didapat s = (x – x0)/h = (0,72 – 0,40)/0,20 = 1,60

Tabel Selisih Maju x f(x) f 2f 3f 0,40 0,60 0,80 1,00 0,758 0,581 0,439 0,333 –0,177 –0,142 –0,106 0,035 0,036 0,001 Dari persaman (6.24)

Taksiran galat interpolasi selisih-maju Taksiran galat interpolasi selisih maju E(x) adalah (6.26) atau (6.27) dengan s = (x – x0)/h

Contoh 6.6 Tentukan taksiran galat interpolasi dari contoh 6.5 x f(x) 0.00 1.000 0.20 0.926 0.40 0.758 0.60 0.581 0.80 0.439 1.00 0.333 1.20 0.258 Dari persamaan 6.27 taksiran galat s = 1,60 dan n = 3 (lihat contoh 6.5)

Tabel Selisih Maju x f(x) f 2f 3f 4f 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0,758 0,581 0,439 0,333 0,258 –0,177 –0,142 –0,106 –0,075 0,035 0,036 0,031 0,001 –0,005 –0,006 s = (x – x0)/h = (0,72 – 0,40)/0,20 = 1,60

b) Metode Selisih Mundur (Backward Difference) Polinom selisih mundur dibangun berdasarkan tabel selisih mundur. Berikut diberikan contoh tabel selisih mundur untuk 5 buah titik. Tabel Selisih Mundur x f(x) f 2f 3f 4f x-4 x-3 x-2 x-1 x0 f-4 f-3 f-2 f-1 f0 f-3 f-2 f-1 f3 2f0 2f1 3f-1 3f0 4f0

adalah lambang selisih maju f0 = f(x0), f-1 = f(x-1), f-2 = f(x-2), …, f-k = f(x-k). f0 = f0 – f-1, f-1 = f-1 – f-2, …, f-k = f-k – f-k-1. 2f0 = f0 – f-1 , 2f-1 = f-1 – f-2, …,2f-k = f-k – f-k-1 Bentuk umum n fk = n–1fk – n–1 fk-1 (6.28) Polinom Selisih-Mundur yang menginterpolasi (n+1) adalah (6.28)

Contoh 6.7 Dari tabel berikut, hitung f(1,83) dengan metode a) Selisih maju derajat 3 b) Selisih mundur derajat 3 i x f(x) 1.70 0,39798 1 1,80 0,33998 2 1,90 0.28182 3 2,00 0,22389 4 2,10 0,18753 Penyelesaian s = (x – x0)/h = (1,83 – 1,70)/0,10 = 1,30

a) Selisih maju derajat 3 x f(x) f 2f 3f 1 2 3 4 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 0,39798 0,33998 0,28182 0,22389 0,19875 –0,05800 –0,05816 –0,05793 –0,03636 –0,00016 0,00023 0,02157 0,00039 0,02134