Distribusi Bentuk Kuadrat Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral chi-square distribution dengan derajat bebas k dan parameter non sentralitas λ=1/2(μ΄μ). Notasi dari variabel random tsb:

y berdistribusi normal dengan rata-rata μ, maka variabel random y1, y2, … , yk berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing μ1, μ2, … , μk, artinya satu dengan yang lain tidak harus sama. Var(y)=I artinya bahwa matriks varians kovarians dari y adalah matrik identitas. Varians dari variabel random y1, y2, … , yk adalah 1 dan covarians adalah sama dengan 0. y´y merupakan jumlah kuadrat atau Teori menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari k variabel independen berdistribusi normal dengan varians 1 mengikuti distribusi yang disebut dengan noncentral chi-squared distribution. Distribusi ini dicirikan dengan dua parameter, yaitu k (derajat bebas) dan λ (parameter noncentral)

Theorema merupakan n variabel random independen berdistribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k1, k2, …, kn dan paramater noncentral λ1, λ2, …, λn. Maka: mengikuti distribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k= k1+k2+ … +kn dan parameter noncentral λ= λ1+λ2+ …+ λn. Atau

Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n x n. Maka y´Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank k. (Buktikan!)

Akibat: Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n xn. Maka y’Ay mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas k jika dan hanya jika A idempoten dengan rank=k. Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan μ dan varians σ2I, σ2>0. Dan A adalah matrik simetris n xn. Maka (1/σ2)y’Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2σ2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank sama dengan k.

Distribusi Multivariate Normal Definisi Jika y adalah vektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan C adalah matrik nonsingular n xn, serta kita tentukan vektor z= C’y. Maka z mengikuti distribusi multivariate normal. z disebut sebagai variabel random normal multivariat.

Implikasi dari definisi ini adalah: Setiap komponen vektor z merupakan kombinasi linier dari random variabel (y1, y2, …,yn) yang berdistribusi normal. Aturan ekspekatasi dan varians dapat digunakan untuk membuktikan bahwa E(z)=C´μ dan var(z)= C´IC= C´C. Varins-kovarins matrik dari random variabel multivariat normal dapat dinyatakan dalam bentuk C´C untuk setiap matrik nonsingular C.

Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄Aμ jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k.

Bukti: Jika y adalah variabel random berdistribusi normal multivariat maka terdapat matrik non singular C shg V=C´C. Misal didefinisikan z dengan z=(C´)-1(y-μ) Dengan mengalikan dengan C´ diperoleh y= C´z+ μ Sehingga bentuk kuadrat menjadi y´Ay= (C´z+ μ)´A(C´z+ μ) Persamaan di atas dapat dinyatakan sbg y´Ay= u´Bu Dengan u=z+(C´)-1μ dan B=CAC´

u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´)-1μ dan varians I u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´)-1μ dan varians I. Berdasarkan theorema sebelumnya maka u´Bu mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) [(C´)-1μ]´B[(C´)-1μ], jika dan hanya jika B=CAC´ idempoten dan rank=k. Maka perlu dibuktikan bahwa B idempoten dan rank=k jika dan hanya jika AV idempoten dan rank=k.

B idempoten artinya B2=B B idempoten artinya B2=B. B2=B (CAC´) (CAC´) = CAC´ CA(C´C)AC´= CAC´ CAVAC´ = CAC´ C-1CAVAC´C = C-1CAC´C AVAC´C = AC´C (AV)(AV)=AV

Akibat: Jika y adalah vektor random n x 1 ber distribusi normal dengan rata-rata 0 dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas k jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k. Jika y adalah vektor random n x 1 ber distribusi normal dengan rata-rata μ dan variance V. Maka y΄V-1y mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas n dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄V-1μ .

Idependensi Bentuk Kuadrat LEMMA Jika A1, A2, …, Am adalah sekumpulan matrik simetris k x k. Kondisi perlu dan cukup agar terdapat orthoganl matriks P sehingga P´AiP merupakan diagonal adalah AiAj=AjAi untuk setiap pasangan (i,j).

Theorema Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AVB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AVB =0.

Akibat dari theorema di atas: Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians σ2I. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AB =0.

Theorema: Jika y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A matriks simetris n x n dan B matriks m x n. Jika BVA =0, maka y΄Ay dan By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan By saling independen, maka BVA =0.

Theorema Mis y adalah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians I. Dan y´A1y, y´A2y, …, y´Amy adalah bentuk kuadrat sebanyak m, Ai adalah matriks simetris dengan rank ri. Jika terdapat dua dari tiga pernyataan dibawah ini benar, maka untuk setiap i, y´Aiy mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas ri dan parameter noncentral λi =(1/2)μ´Aiμ. Demikian juga y´Aiy dan y´Ajy saling bebas untuk i≠j dan ∑ ri =r dengan r adalah rank dari ∑ Ai. 1. Semua Ai idempoten 2. ∑ Ai idempoten 3. AiAj=0; i≠j