Distribusi Bentuk Kuadrat

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Analisa Data Statistik Chap 6: Distribusi Probabilitas Kontinu
Advertisements

Matriks.
ALJABAR LINIER & MATRIKS
Metode Statistika II Pertemuan 2 Pengajar: Timbang Sirait
Distribusi Beta, t dan F.
Distribusi Chi Kuadrat, t dan F
Bentuk Kuadrat dan Distribusinya
Hypothesis Testing In Less Than Full Rank Model
Hypothesis Testing In Full Rank Model
ESTIMATION IN THE LESS THAN FULL RANK MODEL
Sebaran Bentuk Kuadrat
STATISTIKA NON PARAMETRIK
Sistem Persamaan Linier
Pendahuluan Landasan Teori.
SEBARAN BENTUK KUADRAT
InversRANK MATRIKS.
DISTRIBUSI TEORITIS.
Sistem Persamaan Linier
Model Berpangkat Tidak Penuh
MATRIKS DEFINISI MATRIKS :
MODEL LINIER Lia Yuliana, S.Si., MT. Tahun Akademik 2011/2012.
BENTUK KUADRAT.
Distribusi Gamma dan Chi Square
Distribusi Peluang Diskrit atau Teoritis (z, t, F dan chi square)
DISTRIBUSI TEORETIS Tujuan :
Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson.
Matriks dan Transformasi Linier
MATRIKS.
DISTRIBUSI DARI FUNGSI VARIABEL RANDOM
Hypothesis Testing In Full Rank Model
Regresi Linier Berganda
Statistika Multivariat
MATRIKS.
INVERS MATRIKS Pengertian Invers Matriks
LOGO Bentuk Kuadrat Selasa, 26 Maret LOGO 1. Bentuk Umum 2.
TUGAS PRESENTASI MODEL LINEAR
Analisa Data Statistik Chap 6: Distribusi Probabilitas Kontinu
RANK FULL MODEL (ESTIMATION)
RANK FULL MODEL (VARIANCE ESTIMATION)
Review Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose
Sistem Persamaan Linier Oleh : Sudaryatno Sudirham
RANK FULL MODEL (INTERVAL ESTIMATION)
MATRIKS Definisi : Matriks adalah sekumpulan bilangan ril atau bilangan kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran persegi.
BAB 15 ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER
PERTEMUAN Ke- 4 Dosen pengasuh: Moraida Hasanah, S.Si., M.Si
Analisis Data Kuantitatif
MATRIKS DEFINISI MATRIKS :
Kuliah ke 9 ESTIMASI PARAMETER SATU POPULASI
Definisi Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan.
Distribusi Normal.
MATRIKS DEFINISI MATRIKS :
TEKNIK KOMPUTASI 4. INVERS MATRIKS (II).
Inferensi Dua Nilaitengah Ganda (VI)
SEBARAN DARI FUNGSI PEUBAH ACAK
Sebaran Normal Ganda (I)
ANOVA ANALYSIS OF VARIANCE.
Inferensi Dua Nilaitengah Ganda (III)
Pertemuan 8 MATRIK.
PERTEMUAN I 6/11/2018
INFERENSI VEKTOR MEAN 1 Statistik Hotelling’s 2
Statistika Multivariat
Pertemuan 3 Aljabar Matriks (II)
Penyelesaian Persamaan Linier dengan Matriks
Analisis Statistika MULTIVARIATE
Pertemuan 2 Pengolahan matrik
Analisis Multivariate Program S2 Matematika Semester Genap 2011/2012
Pendugaan Parameter Regresi Logistik
Review Aljabar Matriks
Principal Components Analysis (Pendekatan Sampel)
Multivariate Analysis
Transcript presentasi:

Distribusi Bentuk Kuadrat Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral chi-square distribution dengan derajat bebas k dan parameter non sentralitas λ=1/2(μ΄μ). Notasi dari variabel random tsb:

y berdistribusi normal dengan rata-rata μ, maka variabel random y1, y2, … , yk berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing μ1, μ2, … , μk, artinya satu dengan yang lain tidak harus sama. Var(y)=I artinya bahwa matriks varians kovarians dari y adalah matrik identitas. Varians dari variabel random y1, y2, … , yk adalah 1 dan covarians adalah sama dengan 0. y´y merupakan jumlah kuadrat atau Teori menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari k variabel independen berdistribusi normal dengan varians 1 mengikuti distribusi yang disebut dengan noncentral chi-squared distribution. Distribusi ini dicirikan dengan dua parameter, yaitu k (derajat bebas) dan λ (parameter noncentral)

Theorema merupakan n variabel random independen berdistribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k1, k2, …, kn dan paramater noncentral λ1, λ2, …, λn. Maka: mengikuti distribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k= k1+k2+ … +kn dan parameter noncentral λ= λ1+λ2+ …+ λn. Atau

Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n x n. Maka y´Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank k. (Buktikan!)

Akibat: Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n xn. Maka y’Ay mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas k jika dan hanya jika A idempoten dengan rank=k. Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan μ dan varians σ2I, σ2>0. Dan A adalah matrik simetris n xn. Maka (1/σ2)y’Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2σ2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank sama dengan k.

Distribusi Multivariate Normal Definisi Jika y adalah vektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan C adalah matrik nonsingular n xn, serta kita tentukan vektor z= C’y. Maka z mengikuti distribusi multivariate normal. z disebut sebagai variabel random normal multivariat.

Implikasi dari definisi ini adalah: Setiap komponen vektor z merupakan kombinasi linier dari random variabel (y1, y2, …,yn) yang berdistribusi normal. Aturan ekspekatasi dan varians dapat digunakan untuk membuktikan bahwa E(z)=C´μ dan var(z)= C´IC= C´C. Varins-kovarins matrik dari random variabel multivariat normal dapat dinyatakan dalam bentuk C´C untuk setiap matrik nonsingular C.

Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄Aμ jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k.

Bukti: Jika y adalah variabel random berdistribusi normal multivariat maka terdapat matrik non singular C shg V=C´C. Misal didefinisikan z dengan z=(C´)-1(y-μ) Dengan mengalikan dengan C´ diperoleh y= C´z+ μ Sehingga bentuk kuadrat menjadi y´Ay= (C´z+ μ)´A(C´z+ μ) Persamaan di atas dapat dinyatakan sbg y´Ay= u´Bu Dengan u=z+(C´)-1μ dan B=CAC´

u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´)-1μ dan varians I u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´)-1μ dan varians I. Berdasarkan theorema sebelumnya maka u´Bu mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) [(C´)-1μ]´B[(C´)-1μ], jika dan hanya jika B=CAC´ idempoten dan rank=k. Maka perlu dibuktikan bahwa B idempoten dan rank=k jika dan hanya jika AV idempoten dan rank=k.

B idempoten artinya B2=B B idempoten artinya B2=B. B2=B (CAC´) (CAC´) = CAC´ CA(C´C)AC´= CAC´ CAVAC´ = CAC´ C-1CAVAC´C = C-1CAC´C AVAC´C = AC´C (AV)(AV)=AV

Akibat: Jika y adalah vektor random n x 1 ber distribusi normal dengan rata-rata 0 dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas k jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k. Jika y adalah vektor random n x 1 ber distribusi normal dengan rata-rata μ dan variance V. Maka y΄V-1y mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas n dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄V-1μ .

Idependensi Bentuk Kuadrat LEMMA Jika A1, A2, …, Am adalah sekumpulan matrik simetris k x k. Kondisi perlu dan cukup agar terdapat orthoganl matriks P sehingga P´AiP merupakan diagonal adalah AiAj=AjAi untuk setiap pasangan (i,j).

Theorema Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AVB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AVB =0.

Akibat dari theorema di atas: Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians σ2I. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AB =0.

Theorema: Jika y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A matriks simetris n x n dan B matriks m x n. Jika BVA =0, maka y΄Ay dan By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan By saling independen, maka BVA =0.

Theorema Mis y adalah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians I. Dan y´A1y, y´A2y, …, y´Amy adalah bentuk kuadrat sebanyak m, Ai adalah matriks simetris dengan rank ri. Jika terdapat dua dari tiga pernyataan dibawah ini benar, maka untuk setiap i, y´Aiy mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas ri dan parameter noncentral λi =(1/2)μ´Aiμ. Demikian juga y´Aiy dan y´Ajy saling bebas untuk i≠j dan ∑ ri =r dengan r adalah rank dari ∑ Ai. 1. Semua Ai idempoten 2. ∑ Ai idempoten 3. AiAj=0; i≠j