Proses Stokastik Semester Ganjil 2013

Sebaran Eksponensial f (t) = { e –t, t ³ 0 0, t < 0 PDF Pr{T £ t) = ò t e –u du = 1 – e –t (t ³ 0) CDF E[T] = 1  Mean 1 2 Variance Var[T] =

Sifat Utama: Memorylessness (Tanpa Ingatan) Sifat Memoryless Pr{T  a + b | T  b} = Pr{T  a} a, b  0 Digunakan pada beberapa bidang berikut: Reliabilitas: Lama waktu suatu komponen telah bekerja, tidak berpengaruh terhadap lama waktu sampai dengan kerusakannya. Waktu antar kejadian (Inter-event times): Lama waktu sejak kejadian terakhir tidak memberikan informasi tentang kapan kejadian berikutnya akan terjadi. Waktu pelayanan (Service times): Waktu selesainya layanan tidak tergantung pada berapa lama layanan telah diberikan.

Sifat Peubah Acak Eksponensial Peluang bahwa 1 kejadian akan terjadi pada t berikutnya: Pr{T £ t ) = 1- e – t = 1 – { 1 + (– t )+ (– t )x/x! ) } Ketika t kecil maka, (– t )x0 =  t Peubah acak Eksponensial adalah satu-satunya peubah dengan sifat ini.

Proses Mencacah (Counting Process) Proses stokastik {X(t), t  0} adalah counting process jika X(t) didefinisikan sebagai jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu [0, t] Maka {X (t), t  0} harus memenuhi: a) X (t)  0 b) X (t) adalah bilangan cacah untuk semua t c) Jika s < t, maka X (s)  X(t) dan d) Untuk s < t, X (t ) - X (s) adalah jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu (s, t ].

Stasionieritas & Independent Increments Proses mencacah (counting process) mempunyai sifat independent increments jika untuk sembarang 0  s  t  u  v, X(t) – X(s) saling bebas dengan X(v) – X(u) Jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu yang tidak tumpah tindih adalah peubah acah yang saling bebas stationary increments Suatu counting process mempunyai stationary increments jika untuk sembarang s < t, sebaran bagi X(t) – X(s) tergantung hanya pada selang waktu t – s: X(t – s)

Proses Poisson, Definisi 1 Suatu counting process {X(t), t  0} adalah proses Poisson dengan laju ,  > 0, jika X(0) = 0 Proses tersebut mempunyai independent increments Jumlah kejadian pada selang waktu t mengikuti sebaran Poisson dengan rata-rata t Pr{ X(t+s) – X(s) = x } = Pr{ X(t) = x } = (t)xe –t/x! , x = 0, 1, . . . di mana  adalah laju kedatangan dan t adalah selang waktu Proses tersebut juga mempunyai stationary increments

Proses Poisson Definisi 2 o(h): fungsi polinomial h, h→0, sedemikian sehingga o(h)→0 Suatu counting process {X(t), t  0} adalah Poisson process dengan laju ,  > 0, jika X(0) = 0 dan proses tersebut mempunyai sifat stasioner dan independent increments Pr{X(h) = 0} = 1 - h + o(h): peluang bahwa tidak ada kejadian pada selang waktu h Pr{X(h) = 1} = h + o(h): peluang bahwa terdapat satu kejadian pada selang waktu h Pr{X(h) > 1} = o(h): peluang bahwa terdapat satu atau lebih kejadian pada selang waktu h Sifat-sifat tersebut diturunkan dari deret Taylor

Definisi:

Waktu antar Kedatangan (Interarrival times) dan Waktu Tunggu (Waiting Times) X(t) T2 T1 T3 T4 S1 S2 S3 S4 Waktu antar kedatangan T1, T2, … adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas dengan rata-rata 1/: P(T1>t) = P(X(t) =0) = e -t λ Total waktu tunggu sampai dengan kejadian ke n mempunyai sebaran gamma

Contoh 1 Kerusakan terjadi di sepanjang kabel bawah laut, dengan jumlah kerusakan yang mengikuti proses Poisson dengan laju =0.1 per mil. Berapa peluang bahwa tidak terdapat kerusakan pada dua mil pertama sepanjang kabel tersebut? t: panjang kabel dari titik nol (mil)

Dengan syarat tidak terdapat kerusakan pada dua mil pertama kabel, berapa peluang bahwa tidak akan ada kerusakan pada mil kedua dan ketiga? atau Karena selang jarak antara 0 – 2 mil dan 2 – 3 mil tidak saling tumpang tindih

Contoh 2 X(t): jumlah pelanggan yang datang pada suatu fasilitas umum adalah proses poisson dengan laju =2 pelanggan/jam Berapa peluang bahwa terdapat dua kedatangan pelanggan di dalam satu jam pertama setelah fasilitas tersebut buka? t: waktu setelah jam buka (jam)

Peluang tersebut dapat didefinisikan sebagai dua kejadian bebas Berapa peluang bahwa terdapat dua kedatangan pelanggan pada satu jam pertama dan terdapat 6 kedatangan pelanggan pada 3 jam pertama setelah fasilitas buka? P(X(1) = 2 dan X(3) = 6)? Peluang tersebut dapat didefinisikan sebagai dua kejadian bebas Berdasarkan sifat kebebasan:

Dengan peluang bersyarat: Dengan syarat 2 pelanggan datang pada satu jam pertama setelah buka, berapa peluang bahwa akan terdapat 6 pelanggan yang datang pada 3 jam setelah fasilitas buka? Dengan peluang bersyarat: