DETERMINAN Fungsi Determinan Fungsi-fungsi f(x)=sin x dan f(x)=x2 sudah cukup kita kenal, yang mengasosiakan seluruh bilangan real f(x) dengan sebuah bilangan real dari variabel x. Karena x dan f(x) kedua-duanya hanya mempunyai nilai real, maka fungsi-fungsi itu dapat digambarkan sebuah fungsi bernilai real dari sebuah matriks X. Fungsi tersebut dinamakan determinan. Sebelum mendefinisikan fungsi determinan, kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut permutasi. Indrawani.S/Alin/2008

Definisi : Sebuah permutasi himpunan bilangan bulat {1,2,3,….,n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat menurut suatu atur- an tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut. Contoh : Ada 6(enam) permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1,2,3}. Permutasi-permutasi ini adalah : (1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1) Indrawani.S/Alin/2008

Satu metoda yang mudah yang secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan sebuah pohon permutasi. Metoda ini akan dilukiskan di dalam contoh berikut. Contoh 1: Daftarkan semua permutasi dari himpunan bilangan bulat {1,2,3} ! 1● 2● 3● 2● ●3 1● ●3 1● ●2 3● ●2 3● ●1 2● ●1 Ada 6 permutasi dari bil-bil bulat {1,2,3} Indrawani.S/Alin/2008

Buatlah daftar semua permutasi dari himpunan bil real {1,2,3,4) ! Contoh 2 : Buatlah daftar semua permutasi dari himpunan bil real {1,2,3,4) ! (1,2,3,4) (2,1,3,4) (3,1,2,4) (4,1,2,3) (1,2,4,3) (2,1,4,3) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (1,3,2,4) (2,3,1,4) (3,2,1,4) (4,2,1,3) (1,3,4,2) (2,3,4,1) (3,2,4,1) (4,2,3,1) (1,4,2,3) (2,4,1,3) (3,4,1,2) (4,3,1,2) (1,4,3,2) (2,4,3,1) (3,4,2,1) (4,3,2,1) Ada 24 permutasi bil-bil bulat {1,2,3,4} Indrawani.S/Alin/2008

Definisi : Jika dalam suatu permutasi angka yang 2. Inversi Definisi : Jika dalam suatu permutasi angka yang besar mendahului angka yang lebih kecil maka dikatakan pada permutasi tersebut terdapat inversi. Definisi : Banyaknya inversi yang terdapat dalam sebuah permutasi adalah jumlah inversi dari permutasi tersebut. Jumlah inversi seluruhnya yang terjadi di dalam sebuah permutasi dapat diperoleh sebagai berikut : ● Carilah banyaknya bil bulat yg lebih kecil dari pada j1 di dalam permutasi tersebut. Indrawani.S/Alin/2008

● Carilah banyaknya bilangan bulat yg lebih kecil dari pada j2 dan yg mengikuti j2 di dalam permu- tasi tersebut. ● Teruskan proses perhitungan ini untuk j3, ….., jn-1. Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah inversi seluruhnya di dalam permutasi tersebut. Contoh : Tentukan banyaknya inversi di dalam permutasi- permutasi berikut : (i). (6,1,3,4,5,2) (iii). (1,2,3,4) (ii). (2,4,1,3) Indrawani.S/Alin/2008

3. Permutasi genap dan permutasi ganjil Penyelesaian : (i). (6,1,3,4,5,2) banyak inversinya = 5+0+1+1+1=8 (ii). (2,4,1,3) banyak inversinya = 1+2+0=3 (iii). (1,2,3,4) banyak inversinya = 0 (tidak ada). 3. Permutasi genap dan permutasi ganjil Definisi : Sebuah permutasi dinamakan genap jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yg genap dan dinamakan ganjil jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yg ganjil. Indrawani.S/Alin/2008

Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi Contoh : Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1,2,3} sebagai permutasi genap atau ganjil. Permutasi Banyaknya inversi Klasifikasi (1,2,3) Genap (1,3,2) 1 Ganjil (2,1,3) (2,3,1) 2 (3,1,2) (3,2,1) 3 Indrawani.S/Alin/2008

4.1. Aturan Sarrus 4. Menghitung Determinan Daftarkan semua hasil perkalian elementer dari matriks-matriks : (i). Karena setiap hasil perkalian elementer mempunyai dua faktor dan karena setiap faktor berasal dari baris yg berbeda, maka sebuah hasil kali elementer dapat dituliskan di dalam bentuk : a1. a2. Indrawani.S/Alin/2008

dimana titik kosong menandakan nomor kolom. Karena tidak ada dua faktor di dalam hasil perkalian tersebut berasal dari kolom yg sama maka nomor kolom haruslah 1 2 atau 2 1 . Maka hasil perkalian elementer hanyalah a11a22 dan a12a21. (ii). Karena setiap hasil perkalian elementer mempunyai 3 faktor, maka sebuah hasil perkalian elementer dapat dituliskan di dalam bentuk : a1.a2.a3. Indrawani.S/Alin/2008

Karena tidak ada dua faktor di dalam hasil perkalian tersebut berasal dari kolom yg sama, maka nomor kolom tidak mempunyai pengulangan, sehingga nomor-nomor kolom harus membentuk sebuah per- mutasi dari himpunan {1,2,3}. Daftar hasil perkalian elementer sebanyak : 3! = 6 sebagai berikut : a11a22a33 a12a21a33 a13a21a32 a11a23a32 a12a23a31 a13a22a31 Daftarkan semua hasil perkalian elementer yg bertanda dari matriks-matriks : Indrawani.S/Alin/2008

(i). (ii). Hasil perkalian elementer Permutasi yg diasosiakan Genap atau ganjil Hasil perkalian elementer yg bertanda a11a22 (1,2) Genap a12a21 (2,1) Ganjil - a12a21 Indrawani.S/Alin/2008

Permutasi yg diasosiakan Genap atau ganjil Hasil perkalian elementer Permutasi yg diasosiakan Genap atau ganjil Hasil perkalian elementer yg bertanda a11a22a33 (1,2,3) Genap a11a23a32 (1,3,2) Ganjil - a11a23a32 a12a21a33 (2,1,3) - a12a21a33 a12a23a31 (2,3,1) a13a21a32 (3,1,2) a13a22a31 (3,2,1) - a13a22a31 Indrawani.S/Alin/2008

Jadi : Indrawani.S/Alin/2008

Determinan Determinan : suatu fungsi khusus yg mengasosiasikan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujur sangkar. Determinan dinotasikan : Det atau / /. Contoh : Indrawani.S/Alin/2008

Determinan Matriks 1. Perkalian elementer a. b. Indrawani.S/Alin/2008

Aturan Sarrus digunakan untuk mencari determinan matriks orde 3 atau lebih. Contoh: Indrawani.S/Alin/2008

Indrawani.S/Alin/2008

matriks [aij] ditulis dengan Mij dan didefinisikan 3. Ekspansi Kofaktor (Metode Laplace). a. Minor dan Kofaktor Misalkan : A =[aij] matriks bertipe nxn. Minor matriks [aij] ditulis dengan Mij dan didefinisikan sebagai determinan bagian yg tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari matriks A, Indrawani.S/Alin/2008

dengan Cij. Untuk lebih jelasnya dapat kita lihat (-1)i+jMij disebut kofaktor untuk aij dan dinyatakan dengan Cij. Untuk lebih jelasnya dapat kita lihat pada determinan dari matriks 3x3 : dengan mengatur kembali suku-suku dan memfaktor- kan sehingga dapat ditulis sebagai berikut : Det(A)=a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32 -a22a31) Indrawani.S/Alin/2008

Kofaktor (Cij) = (-1)i+j.Mij Contoh : Diketahui : maka : Det(A) = a11M11 – a12M12 + a13M13 Kofaktor (Cij) = (-1)i+j.Mij Contoh : Diketahui : Pertanyaan : a. Tentukan Minor dan Kofaktornya ! b. Hitung det(A) ! Indrawani.S/Alin/2008

a. Minor matriks Kofaktor : C12=(-1)1+2M12 = -10 Penyelesaian : Indrawani.S/Alin/2008

Kofaktor : C21 = (-1)2+1M21 = 8 Kofaktor : C31=(-1)3+1M31=-14 Indrawani.S/Alin/2008

Pertanyaan : Hitung det(C) dengan ekspansi kofaktor b. Det(A) = (3).M11 – (1).M12 + (-4).M13 = (3)(16) – (1)(10) – (4)(3) = 26 Diketahui : Pertanyaan : Hitung det(C) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris keempat ! Penyelesaian : Det(C) = c41,C41 + c42.C42. + c43.C43 + c44.C44 = (-1)4+1.c41.M41+(-1)4+2.c42.M42+(-1)4+3.c43.C43+ (-1)4+4.c44.M44 Indrawani.S/Alin/2008

Pertanyaan : Hitung det(D) dengan ekspansi kofaktor Diketahui : Pertanyaan : Hitung det(D) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama ! Indrawani.S/Alin/2008

Catatan : minan dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah dgn Penyelesaian : Catatan : Umumnya, strategi terbaik untuk menghitung sebuah deter- minan dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah dgn mengekspansikan sepanjang sebuah baris atau kolom yg mempunyai bilangan nol yg terbanyak. Indrawani.S/Alin/2008

Menentukan determinan sebuah matriks dengan 4. Determinan dengan Reduksi Baris Menentukan determinan sebuah matriks dengan mereduksi matriks tersebut kepada bentuk esolon baris. Metoda ini penting karena dapat menghindari perhitungan yg panjang dalam pemakaian definisi determinan secara langsung, dan juga dapat dihitung dengan mudah tak peduli berapapun besarnya ukuran matriks tersebut. TEOREMA : Jika A adalah sembarang matriks yg ber ukuran n x n dan mengandung sebarisan bilangan nol det(A) = 0. Indrawani.S/Alin/2008

berukuran n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen- TEOREMA : Jika A adalah sebuah matriks segitiga yg berukuran n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen- elemen pada diagonal utama, yaitu : Det(A) = a11.a12… ….ann. Contoh : Diketahui : Pertanyaan : Hitung det(A) ! Penyelesaian : Det(A) = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296 Indrawani.S/Alin/2008

Pertanyaan: Hitung det(A) dengan reduksi baris ! Penyelesaian : Diketahui : Pertanyaan: Hitung det(A) dengan reduksi baris ! Penyelesaian : Indrawani.S/Alin/2008

SIFAT-SIFAT DETERMINAN 1. Suatu determinan berorde n mempunyai n2 suku. 2. Dalam setiap determinan berorde lebih dari 1, banyaknya suku yg bertanda + sama dengan banyak nya suku yg bertanda -. 3. Jika pada sebuah matriks dilakukan k kali pertukaran baris (kolom) maka jika k ganjil determinan tersebut berubah tanda, dan jika k genap determinan tersebut tetap. 4. Bila dalam suatu determinan, dua kolom atau baris ditukarkan, terjadi determinan baru yg harganya berlawanan dengan determinan semula. Indrawani.S/Alin/2008

5. Bila suatu determinan mempunyai dua baris atau kolom yang sama, harga determinan sama dengan nol. 6. Bila semua unsur dari suatu kolom atau baris suatu determinan dikalikan dengan k (konstanta), harga determinan juga terkalikan dengan k. 7. Harga determinan tidak berubah bila unsur-unsur suatu baris atau kolom setelah dikalikan dengan suatu konstanta ditambahkan kepada unsur-unsur suatu baris atau kolom yang lain. 8. Bila A dan B dua matriks bertipe nxn maka : Det(AB) = det(A) . det(B). Indrawani.S/Alin/2008

Teorema : Misalkan A adalah sembarang matriks n x n. Jika : 1. A* adalah matriks yg dihasilkan bila sebuah baris tunggal dari A dikalikan oleh sebuah konstanta k, maka det(A*) = k.det(A). 2. A* adalah matriks yg dihasilkan bila dua baris dari A dipertukarkan, maka det(A*) = - det(A). 3. A* adalah matriks yg dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu baris dari A ditambahkan kepada baris lain maka : det(A*) = det(A). Indrawani.S/Alin/2008

Contoh : Indrawani.S/Alin/2008