Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc PENDAHULUAN Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah : max (atau min) Masalah: Belum tentu f ’(x) = 0 (f.o.c) ada pada selang tersebut Solusi f ’(x) = 0 (f.o.c) pada selang tersebut tidak dapat diselesaikan secara langsung Algoritma ini berusaha menyelesaikan permasalahan di atas, selama fungsi mempunyai sifat tertentu. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Algoritma Golden Section Search (kasus maksimisasi) Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a, b], artinya jika x* adalah titik optimal pada [a, b] maka f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval [a, x*] f(x) adalah fungsi monoton turun pada interval [x*, b] Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Pada kasus Max Jika f(x) adalah fungsi unimodal pada [a, b], maka hanya ada satu lokal maksimum pada [a, b], dan lokal maksimum tersebut adalah solusi permasalahan optimasi. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Kasus sebaliknya, jika f(x) bukan fungsi unimodal pada [a, b]  solusi tidak dapat diperoleh. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Algoritma Golden Section Search Berdasarkan sifat f(x) yang unimodal pada selang [a,b], Konsep Dasar algoritma adalah mempersempit selang daerah asal, sehingga mencapai titik optimal Interval-interval di mana solusi optimal berada: selang ketidakpastian Penyempitan selang a x1 x3 x4 x2 b Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Beberapa Kasus Sifat Fungsi untuk Selang Ketidakpastian yang lebih sempit di dalam [a, b] Untuk x1 dan x2 di dalam [a, b] Kasus I: f(x1) < f(x2) f(x) fungsi naik pada sebagian [x1, x2] dan unimodal Titik optimal bukan pada [a, x1], akan tetapi pada [x1, b] Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Untuk x1 dan x2 di dalam [a, b] Kasus II: f(x1) = f(x2) f(x) fungsi turun pada sebagian selang [x1, x2] Karena sifat unimodal, titik optimal pasti tidak lebih dari x2 Kemungkinan letak titik optimal [a, x2] Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Untuk x1 dan x2 di dalam [a, b] Kasus III: f(x1) > f(x2) f(x) fungsi turun pada sebagian [x1, x2] dan unimodal Titik optimal bukan pada [x2, b], akan tetapi pada [a, x2] Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Prosedur Penyempitan Selang Ketidakpastian Dimulai dengan [a, b] sebagai selang ketidakpastian pertama. Evaluasi sifat f(x1) dan f(x2) Tentukan kasus yang mana (1 sampai dengan 3) sebagai dasar penyempitan selang ketidakpastian Evaluasi sifat f(x) pada dua titik di dalam selang ketidakpastian yang baru. Kembali ke langkah 2 sampai selang ketidakpastian relatif sangat kecil Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Penentuan Ujung Kiri x1 dan Ujung Kanan x2 selang Ketidakpastian yang baru x1 : Pindahkan ujung kanan selang lama (b) ke arah kiri sejauh r bagian selang lama. x1= b – r(b – a) x2 : Pindahkan ujung kiri selang lama (a) ke arah kanan sejauh r bagian selang lama x2= a + r(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Selang ketidakpastian setelah iterasi ke k: Ik Panjang selang ketidakpastian setelah iterasi ke k: Lk Untuk iterasi 0 , L0 =b – a Pada iterasi pertama bisa saja I1=[a, x2] atau I1=[x1, b] Panjang selang: L1= x2 – a = a + r(b – a) – a = r(b – a) atau L1= b – x1 = b – (b – r(b – a)) = r(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Ilustrasi prosedur selanjutnya Dari selang terbaru, akan ditentukan dua titik baru x3 dan x4 di mana f(x) akan dievaluasi Kasus 1: f(x1) < f(x2) I1=[x1, b], L1= b – x1 = r(b – a) x3 = b – rL1 = b – r(b – x1 )= b – r2(b – a) x4 = a + rL1 = a + r(b – x1 )= a + r2(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Kasus 2: f(x1) > f(x2) I1=[a, x2], L1= x2 – a = r(b – a) x3 = x2 – rL1 = b – r(x2 – a)= b – r2(b – a) x4 = a + rL1 = a + r(x2 – a) = a + r2(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Keistimewaan Alogritma Golden Section Search Tetapan r = 0.618 adalah solusi dari persamaan kuadrat r2 + r =1 Atau r2 =r – 1, dengan besaran ini: Pada kasus 1 akan berlaku: x3 = b – r2(b – a) = b – (1 – r) (b – a) = a + r(b – a) = x2 Titik kiri dalam selang baru (x3 ) adalah titik kanan dalam selang lama (x2 ) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Keistimewaan Alogritma Golden Section Search Pada kasus 2 akan berlaku: x4 = a + r2(b – a) = a + (1 – r) (b – a) = b – r(b – a) = x1 Titik kanan dalam selang baru (x4 ) adalah titik kiri dalam selang lama (x1 ) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Keistimewaan Alogritma Golden Section Search Lebar selang pada iterasi ke k mempunyai bentuk khusus: Lk =rk(b – a) = rk L0 Sehingga jika iterasi dihentikan sampai Lk < ε maka: rk L0 < ε ↔ k < (ln ε – ln L0)/ln r Jumlah iterasi dapat ditetapkan terlebih dahulu dengan hubungan tersebut Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Soal Terapkan algoritma Golden Section untuk menentukan: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc