ESTY NOOR HALIZA 3F (13310183)

12.8 MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa : f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Teorema A Teorema Eksistensi Maks-Min Jika f kontinu pada suatu himpunan tutup dan terbatas S, maka f mencapai baik nilai maksimum (global) maupun nilai minimum (global) di sana.

Di mana nilai-nilai Ekstrim terjadi ? Titik-titik kritis f pada S ada tiga jenis: Titik-titik perbatasan. Titik-titik stasioner. ( kita sebut suatu titik stasioner jika adalah suatu titik dalam dari S tempat f dapat didiferensiasikan dan pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar. Titik- titik singular. Kita sebut suatu titik singular jika adalah titik dalam dari S tempat f tidak dapat didiferensiasikan, misalanya titik di mana grafik f mempunyai belokan tajam.

Teorema B Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung jika adalah suatu nilai ekstrim, maka haruslah berupa sustu titik kritis, yakni berupa salah satu dari: Sebuah titik perbatasan S ; atau Sebuah titik stasioner dari f, atau Sebuah titik singular dari f.

Teorema c Uji parsial – kedua Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di suatu lingkungan dari ) dan bahwa ,) = 0. Misalkan D = D(a,b) = fxx(a,b) fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2

Catatan Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) minimum lokal. Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) maksimum lokal. Jika D < 0 maka f(a,b) bukan maksimum dan minimum lokal. Maka :

Catatan Pada saat D < 0 maka f(a,b), titik (a,b) disebut titik pelana f. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan. Dimana,

CONTOH 1. Disediakan kotak siku empat yang dibuat dari selembar papan dengan panjang 24 inc dan lebar 9 inc. dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Carilah ukuran kotak yang volumenya maksimum. Berapakah volumenya ?

Penyelesaian Langkah 1: Kita Andaikan bahwa x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan V adalah volume kotak yang dihasilkan. Langkah 2: Maka kita dapatkan: V = x(9 – 2x) (24 – 2x) V = (9x – 2x3) (24 – 2x) V = 216x – 66x2 + 4x3 Langkah 3: Setelah itu, Sekarang x tidak boleh lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4,5 atau 9/2 karna dilipat.

Langkah 4: Langkah 5: Langkah 6: Langkah 7: Jadi sekarang kita ketahui masalah kita adalah memaksimumkan V pada selang [0; 4,5]. Maka di dapat Titik-titik stasioner dengan menetapkan dV/dx = 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. V = 216x – 66x2 + 4x3 V’ = dV/dx = 216 – 132x + 12x2 V’ = 12(18 – 11x + x2) V’ = 12(9 – x) (2 – x ) = 0 Langkah 5: Sehingga, x = 2 atau x = 9, tetapi 9 tidak masuk pada selang [0; 4,5]. Langkah 6: Sekarang Kita lihat bahwa hanya terdapat tiga titik kritis yaitu 0, 2 dan 4,5. Pada titik-titik ujung 0 dan 4,5, V = 0. Pada 2, V = 200. Langkah 7: Kita simpulkan bahwa kotak akan mempunyai volume maksimum 200 inci kubik jika x = 2, yakni jika kotak berukuran panjang 20 inc dan lebar 5 inc serta tingginya 2 inc.

CONTOH 2 2.Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f(x) 3x4 – 4x3 , -1 ≤ x ≤ 2.

Penyelesaian Langkah 1: Langkah 2: langkah 3: Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f’(x) = 12x3 – 12x2 = 12x2(x – 1) Langkah 2:   Sehingga kita dapatkan titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0 dan di titik ujung selangnya. Ini mengakibatkan titik kritis dari fungsi f tercapai di x = 0, x = 1, x = -1, dan x = 2 dengan begitu, maka kita dapatkan lagi : f(0) = 0, f(1) = -1, f(-1) = 7, dan f(2) = 16 langkah 3: dari keempat nilai fungsi ini, yang terbesar adalah f(2) = 16 dan yang terkecil f(1) = -1. Jadi nilai maksimum mutlak dari fungsi f adalah 16, yang tercapai di x = 2, dan nilai minimum mutlaknya -1, yang tercapai di x = 1.

LATIHAN SOAL 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x pada interval [0,3]? 2. Carilah nilai ekstrim local baik minimum lokal maupun maksimum lokal dari fungsi f(x) = 4x/(-x2 – 16) 3. Seorang peternak mempunyai 100 m bambu yang direncanakan untuk memagari kandang hewan yang berbentuk persegi panjang dengan satu sisinya tembok gudang. Tentukan ukuran kandang yang akan memaksimumkan luas daerah kandang hewan tersebut?