Selamat Bertemu Kembali Syalom ! Selamat Bertemu Kembali Bersama Saya B. Ginting, SPd

ROTASI ROTASI C. Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang. Pengertian Rotasi Putaran / rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutar. Pengertian persamaan Transformasi Rotasi / perputaran : Misalkan titik P(x,y) terletak pada bidang Cartesius. Titik P(x,y) dirotasikan sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).Persamaan yang menghubungkan x’ dengan x dan y’ dengan y dinamakan sebagai persamaan transformasi rotasi pada bidang.Persamaan transformasi ini juga ditentukan oleh besar sudut dan titik pusat rotasinya. Ada 3 hal yang perlu diperhatika dalam rotasi yaitu : Pusat titik putar Besar sudut putaran Arah putaran.

1. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) Perhatikan gambar berikut ! Di dalam segitiga OAP diperoleh : OA=OP cos β → x=r cos β dan AP=OP sin β → y=r sin β Di dalam segitiga OBP’ diperoleh : OB=OP’ cos (β+ θ ) X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ ) Y’=r sin (β+ θ ) Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ Y P’(x’, y’) C r P(x, y) D r β x B A

Jadi dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa: Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik pusat rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb: X’ = x cos θ - y sin θ Y’ = x sin θ + y cos θ Jadi dapat dituliskan sbb: P(x,y) P’(x’,y’) dimana : X’=x cos θ -ysin θ Y’=x sin θ + y cos θ Secara matriks dapat dituliskan sbb :

1.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ=(+90o). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

Contoh 1.1.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat O(0,0)? Jawab : Y 7 6 P’ (3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 P(5, -3) -3 -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (+90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(3, 5)

1.1.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2y’ – (-x’) = 10 X’ + 2Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y=10

Secara geometrik dapat dilukiskan sebagai berikut : Y G :2x-y=10 7 G’ : x+2y=10 6 B’(0,5) 5 4 A’(2,4) 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B(5,0) -2 A(4, -2) -3 -4 -5 -6

Tugas Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0) Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ? Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

1.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= -90o Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1.2.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat O(0,0)? Y Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P’ (5, -3) -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(5, -3)

1.2.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -90o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-y’) – x’ = 10 -X’ - 2Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y= -10

1.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= 180o . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 180o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat O(0,0)? Jawab : Y 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 P’ (-3, -5) -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-3, -5)

1.3.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 180o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-x’) – (-y’) = 10 -2X’ + Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x- y= -10

1.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= (-180o ). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ=(- 180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1.4.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar -180o dengan titik pusat O(0,0)? Y Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 P’ (-3, -5) -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-3, -5)

1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o ) ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-x’) – (-y’) = 10 -2X’ + Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o )adalah 2x- y= -10 atau y – 2x = 10

1.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= 270o . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 270o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1.5.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar 270o dengan titik pusat O(0,0)? Y Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P’ (5, -3) -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(5, -3)

1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -y’ dan y = x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-y’) – (x’) = 10 -2y’ - x’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o adalah x + 2y= -10

1.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= (-270o ). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ = (- 270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1.6.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-270o) dengan titik pusat O(0,0)? Y Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 P’ (-5, 3) 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-5, 3)

1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 y’ – (-x’) = 10 2y’ + x’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o adalah x + 2y = 10

Tugas Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ? Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb: P(x,y) P’(x’,y’) dimana : X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θ Secara matriks dapat dituliskan sbb : Y P’(x’, y’) P(x, y) M(h,k) X

2.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(+90o). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

Contoh 2.1.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat M(2,1)? Y Jawab : 7 6 5 P’(6, 4) 4 3 2 M(2,1)? 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P(5, -3) -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (90o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)

Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3x-4y=-12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan susut rotasi 90o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2 ke persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb: 3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12 3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -12 3y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13 4x’ + 3y’ = 1 Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi berpusat di M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah 4x + 3y= 1

2.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-90o) Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)? Jawab : Y 7 6 P(3, 5) 5 4 3 M(1,2) 2 1 P’(4, 0) X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 12 2(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12 -x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah x + 2y= -3

2.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (180o) . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)? Y Jawab : 7 6 P’(-1, 5) 5 4 3 2 1 M(2,1) X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P(5, -3) -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(-1, 5)

Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12 8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12 -2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y= -10

2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-180o) . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)? Y Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 M(1,2) 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P’(-1, -1) -2 -3 -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)

Contoh 2.4.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -180o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12 8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12 -2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y = -10

2.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (270o) Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)? Y Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 M(1,2) 2 1 P’(4, 0) X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

Contoh 2.5.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 270o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12 -2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12 x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 270o adalah x - 2y = 15

2.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(-270o). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (-270o) maka diperoleh bayangan sbb :

Contoh 2.6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar -270o dengan titik pusat M(2,1)? Jawab : Y 7 6 5 P’(6, 4) 4 3 2 M(2,1) 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P(5, -3) -4 -5 -6

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (-270o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)

Contoh 2.6.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -270o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12 -2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12 x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -270o adalah x - 2y = 15

Tugas Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik pusat M(2,-3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik pusat M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik pusat M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ? Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?