BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A–1 = AT disebut sebagai matriks ortogonal. Dari definisi kita dapat menyimpulkan bahwa suatu matrik persegi dikatakan ortogonal jika dan hanya jika AAT = ATA = I

Contoh 8.12 Buktikan bahwa matriks ortogonal Bukti

Karena ATA = I, maka terbukti bahwa matriks A adalah matriks ortogonal

Teorema 8.4.1 Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen untuk sebuah matriks A, n x n. a) A adalah matriks ortogonal Vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. c) Vektor-vektor kolom A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean.

Contoh 8.13 Tunjukkan bahwa adalah ortogonal dengan menunjukkan: a) vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R2 vektor-vektor kolom matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R2 Penyelesaian

a) Karena 〈r1, r2〉 = 0 dan ||r1|| = ||r2|| = 1, berarti vektor- vektor baris dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

b) Karena 〈c1, c2〉 = 0 dan ||c1|| = ||c2|| = 1, berarti vektor- vektor kolom dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

Teorema 8.4.2 a) Invers dari sebuah matriks matriks ortogonal adalah sebuah matriks ortogonal Hasilkali matriks-matriks ortogonal akan menghasilkan sebuah matriks ortogonal Jika A ortogonal, maka det (A) = 1 atau det (A) = –1

Contoh 8.14 Telah ditunjukkan pada contoh 8.13 bahwa adalah ortogonal, sehingga berdasarkan teorema 8.4.2c, det (A) = 1 atau det (A) = –1

8.4.1 Matriks Koordinat v = k1v1 + k2v2 + … + knvn Dari teorema sebelumnya, jika S = {v1, v2, …, vn } adalah sebuah basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v didalam V dapat dinyatakan secara unik sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor basis, v = k1v1 + k2v2 + … + knvn Skalar k1, k2, …, kn adalah koordinat-koordinat v relatif terhadap S dan vektor (v)S = (k1, k2, …, kn) adalah vektor koordinat dari v relatif terhadap S.

Jika (v)S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, Selanjutnya [v]S didefinisikan sebagai matriks koordinat dari vektor v relatif terhadap S Contoh 8.15 Tentukan matriks koordinat v relatif terhadap S = {v1, v2, v3} jika v = (2, –1, 3); v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3,) Penyelesaian

v = k1v1 + k2v2 + k3v3 (2, –1, 3) = k1 (1, 0, 0) + k2 (2, 2, 0) + k3 (3, 3, 3) k1 + 2k2 + 3k3 = 2 0k1 + 2k2 + 3k3 = –1 0k1 + 0k2 + 3k3 = 3

8.4.2 Perubahan Basis Jika ada perubahan basis sebuah ruang vektor V dari basis lama B ke basis baru B, maka matriks koordinat v lama, yaitu [v]B berubah menjadi koordinat baru [v]B. Misal B = {u1, u2} adalah basis lama dan B = {u1, u2} adalah basis baru untuk R2. Matriks-matriks koordinat untuk vektor-vektor basis yang baru relatif terhadap basis yang lama adalah, dan Untuk medapatkan nilai a, b, c, dan d selesaikan persamaan berikut. u1 = au1 + bu2 u2 = cu1 + du2

] [ Selanjutnya didapat matriks transisi dari basis baru B ke basis lama B, [ [u1]B [u2]B … [un]B ] P = Hubungan matriks koordinat lama [v]B dengan matriks koordinat baru [v]B dari sebuah vektor v yang sama adalah, [v]B = P[v]B

Contoh 8.16 Diketahui basis B = {u1, u2} dan basis B = {u1, u2} untuk R2. Jika u1 = (1, 0); u2 = (0, 1); u1 = (1, 1); u2 = (2, 1), tentukan: a) matriks transisi dari B ke B b) Tentukan [v]B, jika Penyelesaian

a) u1 = au1 + bu2  (1, 1) = a(1, 0) + b(0, 1) 1 = 1a + 0b  a = 1 1 = 0a + 1b  b = 1 u2 = cu1 + du2  (2, 1) = c(1, 0) + d(0, 1) 2 = 1c + 0d  c = 2 1 = 0c + 1d  d = 1 Matriks transisi dari B ke B b)

Contoh 8.17 Diketahui basis B = {u1, u2} dan basis B = {u1, u2} untuk R2. Jika u1 = (1, 0); u2 = (0, 1); u1 = (1, 1); u2 = (2, 1), tentukan matriks transisi dari B ke B Penyelesaian u1 = au1 + bu2  (1, 0) = a(1, 1) + b(2, 1) 1 = 1a + 2b 0 = 1a + 1b Didapat a = –1 dan b = 1

u2 = cu1 + du2  (0, 1) = c(1, 1) + d(2, 1) Didapat c = 2 dan d = –1 Matriks transisi dari B ke B

Teorema 8.4.3 Jika P adalah matriks transisi dari sebuah basis B ke sebuah basis B untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, maka: a) P dapat dibalik (invertible) P-1 adalah matriks transisi dari dari B ke B Kesimpulan: Jika matriks transisi dari basis baru B ke sebuah basis lama B adalah P, maka matriks transisi dari basis lama B ke basis baru B adalah P-1 Jadi matriks transisi contoh 8.17 dapat langsung dicari dengan cara melakukan proses invers pada matriks P

8.4.3 Perubahan Basis Ortonormal Teorema 8.4.4 Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya untuk sebuah ruang hasilkali dalam, maka P adalah sebuah matriks ortogonal. Jadi P-1 = PT

Latihan 1. Buktikan bahwa matriks berikut adalah matriks ortogonal 2. Tentukan matriks koordinat untuk v relatif terhadap S = {v1, v2, v3} jika v = (1, 2, –3); v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 0, 2), v3 = (1, 1, 1)