DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT Pertemuan-2 Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I Tahun : 2006 DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT Pertemuan-2 TIK: Mhs dapat menjelaskansumber-sumber galat dalam metoda numerik serta mampu menghitung perambatan galat

f(n)(x0) adalah turunan ke-n dari f(x) untuk x = x0 DERET TAYLOR Teorema Taylor: Untuk f suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1) dan kontinu dalam selang [a,b], maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor yaitu: f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + … n=~ = 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n n=o Dimana: f(n)(x0) adalah turunan ke-n dari f(x) untuk x = x0 x disekitar x0 dan (x, x0)  a,b

Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x0 Contoh: 1 = 1; Tentukan 1,01=? Jawban: f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1 dan x – x0 = 0,01 f(‘)(x) = ½ x-1/2,  f(‘)(1) = ½ = 0,5 f(“)(x) = -1/4 x-3/2, f(“)(1) = - ¼ = - 0,25 f(3)(x) = 3/8 x-5/2 , f(3)(1) = 3/8 = 0,375 f(4)(x) = -15/16 x-7/2 , f(4)(1) = -15/16 = - 0,9375

n 1 2 f(n)(1) 0,5 -0,25 3 4 0,375 - 0,9375 f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01)2 + (0,16667)(0,375)(0,01)3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01)4 + … = 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal)

Berikut ini beberapa fungsi yang diekspansikan dalam deret Taylor di sekitar x0 = 0 1. f(x) = ex = 1 + x + ½! x2 + 1/3! x3 + … + 1/n! xn + … n=~ =  (1/n!) xn ………………..untuk -~ < x < ~ n=0 2. f(x) = sin x = x – 1/3! x3 + 1/5! x5 + … 1/(2n+1)! X(2n+1) + … n=~ =  (-1)n {1/(2n+1)! } x(2n+1) ……untuk -~ < x < ~ n=0

3. f(x) = Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + … =  (-1)n {1/(2n)! } x(2n) …………untuk -~ < x < ~ n=0 4. f(x) = ln (x+1) = x – 1/2 x2 + 1/3 x3 - … 1/n xn + … n=~ =  (-1)n+1 (1/n) xn ……………..untuk -1 < x < 1 n=1

Animasi deret Taylor untuk f(x) = cos x

ANALISIS GALAT Galat atau ralat atau kesalahan (error) yaitu selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â)

Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01 Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya Contoh: Perhitungan -1  em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7 Perhitungan -2  em2 = |10,5 – 9,8| = 0,7 Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti? Jawaban: er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 % er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 %  ketelitian 92,8571 % Perhitungan -1 lebih teliti.

Sumber galat numerik Galat pemotongan (trancation error) Galat pembulatan (round-off error) Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksak Deret Taylor f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x) Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1),  x0 <  < x Rn(x) adalah galat pemotongan

Contoh: Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + Rn(x) = 1 – ½! x2 +R1(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x) R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R2(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R3(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R4(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4

Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas Contoh: 1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333… yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333 Terdapat galat pembulatan = 0.000333… Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333 Terdapat galat pembulatan = 0.000000333… 2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…)2  (0.1)10

Penyajian bilangan Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan. Format floating point ternormalisasi: x =  m . p  tanda; m mantisa;  bilangan pokok; p eksponen m = 0.d1d2d3…dk   -1  m <1 Untuk sistim bilangan desimal, maka  = 10 0.1  m <1; 1  d1 < 9; 0  dk < 9 Untuk sistim bilangan biner, maka  = 2 0.5  m <1; d1=1 ; 0  dk  1

Sistim bilangan desimal Contoh: Sistim bilangan desimal 0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392) - 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= - 32.46) 0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627) 2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa 1 1 Pangkat bertanda Mantisa Tanda 0 = + 1 = - X = 0.100000000000001000110011.2-13 = 0.5000335574.10-7

Orde Penghampiran Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi:

Contoh: 1. a = 3,141592; â = 3,142 â mendekati a teliti sampai tiga desimal Pada deret Taylor: f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x) Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1),  x0 <  < x

Bila (x-x0) = h atau x = x0 + h, maka:

Dapat dituliskan menjadi: p(h) adalah fungsi hampiran untuk f(h) dengan galat O(hn+1). O(hn+1) disebut sebagai Big-Oh (O-besar). Pada umumnya 0 < h < 1, jadi semakin besar n semakin dekat p(h) menghampiri f(h) Contoh: Cos h =1 – ½! h2  O(h4) = 1 – ½! h2 + ¼! h4 O(h6) = 1 – ½! h2 + ¼! h4 – 1/6! h6  O(h8) = 1 – ½! h2 + ¼! h4 – 1/6! h6 + ¼! h8  O(h10)

Perambatan Galat Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya masing-masing â1 dan â2 Maka: a1= â1  e1  er1= e1/ â1 a2 = â2  e2  er2 = e2/ â2 Perambatan galat dari a1 dan a2 pada: Penjumlahan A = a1  a2 = (â1  e1)  (â2  e2) = (â1  â2)  (e1 + e2) = (â1  â2)  eA eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan ()

2. Perkalian B = a1 . a2 = (â1  e1).(â2  e2) = (â1. â2)  (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2) = (â1. â2)  eB eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)  erB = er1+er2 3. Pembagian P= (â1/ â2)  eP  eP =

Contoh: Hasil pengukuran jari-jari suatu bola adalah: R = (4,50  0,45) m Hitung galat maksimum dari: a. Luas permukaan bola b. Volume bola Jawaban: a. Luas permukaan bola S = 4 R2 Galat relatif luas permukaan bola: er(S) = 2 er® = 2 (0,45/4,50) = 0,2 Galat mutlak luas permukaan bola: eS = S er(S) = 4 R2 .2 er® = 4 (3,14) (4,50)2 (0,2) = 50,868 S = (254,340  50,868) m2

Volume bola : V = 4/3  R3 Galat relatif volume bola: er(V) = 3 er® = 3 (0,45/4,50) = 0,3 Galat mutlak volume bola: eV = V.er(V) = 4/3  R3 er(V)= 4/3 (3,14)(4,50)3 (0,3) = 114,453 V= (381,51  114,453) m3