ALJABAR LINIER

ALJABAR LINIER Deskripsi : Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, serta aplikasi matriks dalam bentuk kuadrat, bentuk bilinier dan bentuk hermit

ALJABAR LINIER Tujuan instruksional umum : mahasiswa mengerti dan memahami tentang matriks dan vektor serta operasi terhadapnya serta dapat mengaplikasikan dalam persoalan-persoalan sehari-hari Buku acuan : Anton, Howard, “Aljabar Linier Elementer”, Edisi 8 Jilid 1 , Erlangga, Jakarta 1997 3

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Untuk memudahkan menentukan lokasi tempat duduk, dapat dibuat denah berdasarkan baris dan kolom Banyaknya lulusan STIS berdasarkan jurusan jenis kelamin dapat dibuat tabel JK\Jurusan Komputasi Ekonomi Sosial Laki-laki 45 50 35 Perempuan 30 125 75

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Dengan menghilangkan judul baris dan kolomnya, penulisan data tersebut dapat diringkas menjadi: Definisi : Sebuah matriks adalah susunan kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom (dengan menggunakan kurung biasa atau siku).

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen/entri dalam matriks A.

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom , oleh karena itu disebut berordo 2x3. Baris pertama Baris kedua Kolom Pertama Kolom kedua Kolom ketiga

MATRIKS Definisi Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom m baris n kolom di katakan matriks A berukuran m x n

Baris ke-i dari A adalah : Kolom ke-j dari A adalah : Matriks A dapat juga ditulis : A = [aij] Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama

Jenis – jenis Matriks 1. Matriks Diagonal  Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i  j 2. Matriks Skalar  Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j 3. Matriks Segitiga Atas  Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol

Jenis – Jenis Matriks 4. Matriks Segitiga Bawah  Matriks b.s. dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol 5. Matriks Identitas  Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j 6. Matriks Nol  Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

Operasi Matriks Persamaan Dua Matriks Penjumlahan Matriks Perkalian Skalar dan Matriks Transpose Matriks Perkalian Matriks

Persamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1  i  m, 1  j  n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. Contoh : Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

Penjumlahan Matriks Definisi Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlah A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan cij = aij + bij Contoh Diberikan Matriks A dan B adalah maka

Perkalian Skalar & Matriks Definisi Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarang skalar real, maka perkalian skalar rA adalah matriks B = [bij] ukuran m x n dengan bij = r aij Contoh Jika r = -3 dan maka

Transpose Matriks Definisi Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose dari A adalah matriks At = [aijt] ukuran n x m dengan aijt = aji Contoh maka

Transpose Matriks Matriks Simetrik Matriks A yang berukuran nxn disebut matriks simetrik jika dan hanya jika aij = aji untuk semua I dan j. Teorema-teorema di bawah ini berhubungan dengan transpose matriks. (AT)T= A (A+B)T = AT + BT

Transpose Matriks (kA)T = k(AT) (AB)T = BTAT (Ar)T = (AT)r Jika A adalah matriks bujursangkar, maka A + AT adalah matriks simetrik Untuk sembarang matriks A, maka AAT dan ATA adalah matriks simetri

Perkalian Matriks Definisi Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj Ilustrasi rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij Colj(B) rowi(A)

Latihan Soal Jika mungkin, maka hitunglah AB d. CB + D g. BA + FD 1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut: Jika mungkin, maka hitunglah AB d. CB + D g. BA + FD BA e. AB + DF h. A(BD) A(C + E) f. (D + F)A

2. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut : Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus Product P Product Q

apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ? Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut : apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ? Tanaman X Tanaman Y Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus

TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS (AB)C = A(BC) untuk matriks A berukuran mxn, Matriks B berukuran nxp dan matriks C berukuran pxq t(AB) = (tA)B = A(tB) A(-B) = (-A)B = -(AB) (A+B)C = AC + BC untuk matriks A dan B yang berukuran mxn dan matriks C berukuran nxp D(A+B) = DA + DB untuk matriks A dan B yg berukuran mxn dan matriks D yg berukuran pxm

TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS Ar = A A A A …. A r kali ArAs = Ars (Ar)s = Ars

Teorema : A + B = B + A k(B+C) = kB + kC A + (B + C) = (A+B) + C (k+l)A = kA + lA A(B+C) = AB + AC (k-l)A = kA - lA (B+C)A = BA + CA (kl)A = k(lA) A(B-C) = AB – AC k(AB) = (kA)B = A(kB) (B-C)A = BA – CA