TRANSFORMASI PEUBAH ACAK-ACAK MATERI POKOK 20 TRANSFORMASI PEUBAH ACAK-ACAK Transformasi Peubah Acak Kontinu Teorema 1 Peubah acak X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan f(x). Peubah acak y = u(x) menyatakan hubungan satu-satu antara nilai x dan y sehingga persamaan y = u(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dalam y misalnya x = (y) sehingga fungsi kepekatan y adalah g(y) = f [(y)] |j| dengan J = 1(y) dan disebut Jacob, transfomasi. Bentuk-bentuk transformasi:

Transformasi Dengan Fungsi Sebaran Andaikan peubah acak X kontinu dengan fungsi kepekatan f(x) untuk C1 < x < C2 dengan transfora Y = u(X) dan inversnya X = (y) maka fungsi kepekatan peubah acak Y adalah g(y) diperoleh dari G1 (y) dimana

Contoh 1 Peubah acak X dengan fungsi kepekatan f(x) = 3(1 - x)2, 0<x<1.. Cari fungsi kepekatan peubah acak y = u(X)=(1 - X)3 . Cara 1. Menggunakan fungsi sebaran

Cara 2. Dengan Transformasi Jacobi

Peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan f(x) dengan transformasi tidak satu-satu misalnya Y= u(x) = x2 dan –1 < x < 2, maka 0 < y < 1 nilai dan untuk 1 < y < 4 nilai Teorema 2 Andaikan X perubahan acak kontinu dengan fungsi kepekatan f(x). Transformasi Y = u(x) antara X dan Y tidak satu-satu dan selang X dapat disekat menjadi K himpunan yang saling terpisah sedemikian rupa sehingga masing-masing fungsi kebalikan X1 = 1 (y), X2 = 2 (y),…, Xk = k (y) dari y = u(x) menyatakan hubungan satu-satu maka fungsi kepekatan Y adalah

misalnya: f(x) ada pada selang –1 < x < 2 dan transformasi Y = u(X) = X2. untuk 0 < y < 1

Transformasi dengan Matriks Jacobi Teorema 3 Andaikan X1 dan X2 merupakan peubah acak kontinu dengan sebaran peluang gabungan f(x1, x2) dan Y1= u1(x1, x2) dan Y2 = u2(x1, x2) menentukan transformasi satu-satu diantara titik (x1, x2) dan (y1, y2) sehingga persamaan-persamaan Y1 = u1(x1, x2) dan Y2 = u2(x1, x2) dapat dipecahkan secara unik untuk x1 dan x2 dalam besaran y1 dan y2, katakanlah x1 = 1(y1, y2) dan x2 = 2(y1, y2), maka sebaran peluang gabungan Y1 dan Y2 berupa g (y1, y2)= f [1(y1, y2), 2(y1, y2)]|J| dengan Jacobian adalah determinan 2 x 2:

Adalah turunan parsial dari x1 = 1 (y1, y2) terhadap y1 Dengan y1 konstan Adalah turunan parsial dari x1 = 1 (y1, y2) terhadap y2 Adalah turunan parsial dari x2 = 2 (y1, y2) terhadap y1 Dengan y2 konstan Adalah turunan parsial dari x2 = 2 (y1, y2) terhadap y2 dengan y1 konstan

Contoh Himpunan A = {(x1, x2): 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1} Himpunan B = dalam bidang y1 y2 sebagai hasil pemetaan transformasi satu-satu Y1 = u1 (x1, x2) = x1 + x2 Y2 = u2 (x1, x2) = x1 - x2 maka

Contoh Transformasi: X1, X2 menyebar normal: N (0,1) dan dengan transfomasi Y1= x1/x2 dan Y2 = X2 maka g1(y1) sebagai fungsi kepekatan marginal dari g (y1, y2) merupakan sebaran Cauchy