Optimasi pada Fungsi Majemuk Pertemuan 6 Matakuliah : J0182/Matematika II Tahun : 2006 Optimasi pada Fungsi Majemuk Pertemuan 6
Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum Nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya.
Untuk Z = f ( X,Y ) Maka Z akan mencapai titik ekstrimnya jika : dZ = 0 dan dZ = 0 dX dY
Untuk mengetahui apakah titik ekstrim berupa titik maksimum / minimum, perlu dilakukan uji derivatif kedua sbb Δ = ( d2Z / dX2 ) ( d2Z / dY2 ) – ( d2Z / dXdY )2 Jika Nilai Δ < 0 Tidak ada maksimum / minimum pada X=a dan Y=b tetapi terdapat titik sadel pada X=a dan Y=b Jika Nilai Δ = 0 Tes gagal sehingga perlu pengujian disekitar X=a dan Y=b
JJika Nilai Δ > 0 Maksimum jika d2Z < 0 dan d2Z < 0 dX2 dY2 Minimum jika d2Z > 0 dan d2Z > 0
Contoh : Tentukan apakah fungsi berikut merupakan fungsi maksimum / minimum dan tentukan titik ekstrimnya. Z = -X2 + 12X – Y2 + 10Y – 45
Uji derivatif Pertama dZ / dX = 0 -2X + 12 = 0 X = 6 dZ/ dY = 0 -2Y + 10 = 0 Y = 5 Titik Ekstrim ( 6,5 )
Uji derivatif kedua d2Z / dX2 = -2 d2Z / dY2 = -2 d2Z / dXdY = 0 Δ = ( -2 ) ( -2 ) – ( 0 )2 = 4 Karena keduanya < 0, maka fungsi tersebut adalah fungsi maksimum