Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Sistem SDOF dengan getaran bebas a. TANPA REDAMAN.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Sistem SDOF dengan getaran bebas a. TANPA REDAMAN."— Transcript presentasi:

1 Sistem SDOF dengan getaran bebas a. TANPA REDAMAN

2 GETARAN BEBAS TANPA REDAMAN  STRUKTUR HANYA MENGALAMI GETARAN KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA BEBAN LUAR  TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN

3 Penguraian Persamaan Umum Gerak Sistem Getaran Bebas tak teredam  Persamaan Umum ; m.a + k.x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m.a + k.x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

4 Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos  t Sehingga : dx/dt = -  E sin  t dx 2 /dt 2 = -  2  E cos  t Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0 - m  2  E cos  t + k E cos  t = K cos  t - m  2  E + k E = K E = K / (k - m  2 ) Maka Jawab Umum x = K cos  t K – m  2

5 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK  Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah : x = A cos  t + B sin  t x = -A  sin  t + B  cos  t dimana  = √ k/m (frekwensi alami)  Pada gerak ini :  C = 0 karena tidak ada faktor peredam  F(T) = 0 karena getarnya bebas.

6 FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE  Pada getaran bebas tak teredam frekwensi yg terjadi adalah frekwensi natural (alami) dimana :  = √ (k/m) f =  / 2    Kebalikan dari frekwensi natural adalah Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus T = 1/f = 2 

7 PERPINDAHAN YANG TERJADI  Y= C sin (  t +  ) atau  Y = C cos (  t -  )  Dimana : C ={ yo 2 + (V0/  ) 2 } 1/2 Tan  = y o / (v o /  ) Tan  = vo/  yo

8 Sistem SDOF dengan getaran bebas b. DENGAN REDAMAN

9 SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN PADA STRUKTUR SINGLE DOF  Persamaan Umum ; m.a + c.v +k.x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m.a + c.v + k.x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

10 Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C e pt Sehingga : ma + cv +kx = 0 m Cp 2 e pt + c Cp e pt +k C e pt = 0 Dgn menghilangkan faktor yang sama akan muncul persamaan kareakteristik : m p 2 + c p + k = 0 Dan akar2 persamaan kuadratnya adalah : p1,p2 = -c/2m + √ {(c/2m) 2 – k/m}

11 Sehingga Solusi Umum persamaan Gerak yang terjadi y(t) = C 1 e p1t + C 2 e p2t Dimana : C1 dan C2 adalah konstanta integrasi yang ditetapkan sebagai kondisi awal.

12 REDAMAN YANG TERJADI  REDAMAN SUB KRITIS  REDAMAN KRITIS  REDAMAN SUPERKRITIS

13 PENYELESAIAN PERSAMAAN  AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m) 2 – k/m Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah : y(t) = C 1 e pt + C 2 e pt Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi

14 SISTEM REDAMAN  ADA TIGA JENIS REDAMAN : 1. Sistem redaman kritis (Critical Damped System) 2. Sistem redaman superkritis (Overdamped System) 3. Sistem redaman subkritis (Underdamped System)

15 Redaman kritis  Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0 ( c cr /2m) 2 – k/m = 0 c cr = 2 √km  Dimana Ccr = harga redaman kritis karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m maka koefisien redaman kritis c cr = 2m ω = 2k / ω

16 Redaman Kritis  Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1 = p2 = - c cr /2m  Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah : y1(t) = C1 e -(c cr /2m)t dan y2(t) = C2 t e -(c cr /2m)t Superposisi dari keduanya : y(t) = (C1 + C2 t) e -(c cr /2m)t

17 Dimana :  m = masa beban / sistem  k = kekakuan struktur  Y = perpindahan yang terjadi  Ccr = redaman kritis  P12 = akar persamaan yang terbentuk  C12 = konstanta yang terbentuk akibat penyelesaian persamaan diferensial  W = frekuensi natural

18 REDAMAN SUB KRITIS  Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil dari harga kritis (C

19 Solusi Persamaan Gerak Redaman Subkritis  Dengan mensunstitusikan akar p1 dan p2 maka y(t)= e -(c/2m)t (A cos  D t + B sin  D t)  Dimana Frekwensi System:  D =√ { k/m – (c/2m) 2 } atau  D =  √(1-ξ 2 ) Dengan  = √ k/m ( frekwensi Natural) ξ = c / cr ( Ratio Redaman) Dan c = adalah redaman yang terjadi (kondisi subkritis)

20 Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal  Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal) y(t) = e -ξ  t (y o cos  D t + vo+  yoξ  sin  D t) Atau y(t) = C e -ξ  t cos (  D t –  ) Dimana : C = √(y o 2 + (v o +y o ξ    D 2 ) tan  = (v o +y o ξ  D y o )  D adalah frekwensi sistem dengan redaman

21 Periode Redaman Getaran  Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang dengan interval yang sama yang disebut periode getaran  T D = 2  /  D =  √(1-ξ 2 )  Harga koefisien redaman untuk struktur lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari redaman kritis atau  Nilai ξ = 0,2 dan  D = 0,98 

22 PENGURANGAN LOGARITMIS  Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio antara dua puncak amplitudo yang berturutan dari suatu getaran bebas   = ln y 1 /y 2  Sehingga untuk y(t) = C e -ξ  t cos (  D t –  ) dan y1 = C e -ξ  t1 y2 = C e -ξ  t(t1+Td) Maka  = ln y 1 /y 2 = ξ  t D atau  ξ / √ (1- ξ 2 ) utk ξ yg sangat kecil maka  ξ

23 REDAMAN SUPERKRITIS  Koefisien redaman yang terjadi lebih besar dari redaman kritis c > c cr Sehingga nilai akar persamaan ( P 1,2 ) bernilai real dan berbeda Maka perpindahan yang terjadi adalah y(t) = C 1 e p1t + C 2 e p2t

24 CONTOH  Sebuah Struktur memiliki W = 10 N, kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan y1=1,0 dan y2=0,85  Hitung a. Frekwensi Natural b. Pengurangan Logaritmis c. Ratio Redaman d. Koefisien Redaman e. Frekwensi teredam

25 Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan)  Frekwensi Natural  = √ (k/m) = √ 20x10 /10  Pengurangan Logaritmis  = ln y 1 /y 2 = y1= ln (1,0/0,85)  Ratio Redaman  ξ shg ξ =   Koefisien Redaman c cr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ xCcr  Frekwensi Teredam  D =  √(1-ξ 2 ) d = 2p ξ = c / cr y1=1,0 dan y2=0,85 W = 10 N, kekakuan 20 N/m ccr = 2 √km d = 2pξ  d = ln y1/y2


Download ppt "Sistem SDOF dengan getaran bebas a. TANPA REDAMAN."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google