Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

Presentasi berjudul: "Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi"— Transcript presentasi:

1 Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi Menentukan invers suatu fungsi

2 Indikator Mendeskripsikan pengertian fungsi dan sifat-sifatnya
Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi Menentukan invers dari suatu fungsi

3 Definisi Fungsi Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B Ditulis f : A B Dibaca “fungsi f memetakan A ke B” A B 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

4 Cara Penyajian Fungsi Dalam Diagram Panah D K
F: D K. Ini menyatakan bahwa fungsi f memiliki domain D dan kodomain K. Misalkan f(x) = √x , hanya terdefinisi bila x ≥ 0 dan x € R. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

5 Penyajian Pasangan Berurutan
Cara ini efektif hanya jika himpunannya terbatas dan anggotanya “diskrit” Grafik Kartesius y (3,p) (2,q) (1,p) (1,q) p q x

6 Dalam bentuk aturan- aturan atau dengan kata- kata
Misalkan Tambah 1dan (kemudian) kuadratkan Kuadratkan dan (kemudian) tambah 1 Aturan dalam bentuk aturan-aturan atau kata- kata dapat berupa bentuk aljabar Misalkan (x+1)2 atau f(x) = (x+1)2 x2 + 1 atau f(x) = x2 + 1

7 Dalam bentuk persamaan
Misalkan eksplisit, y = 2x + 3 dengan y = f(x) Implisit, 2x-y+3=0

8 Macam-macam Fungsi Fungsi konstan
Fungsi f:x C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap) Contoh : y y=f(x)=3 F(-2)= f(5) = 3 x Fungsi Identitas Fungsi R R yang didefinisikan sebagai : I : x x disebut fungsi identitas Grafik fungsi identitas y = x adalah garis lurus yang melalui O (0,0) y y = x 3 2 1 O x

9 Fungsi Linear Fungsi f: R R yang didefinisikan : f(x) = ax+b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 Disebut fungsi linear Fungsi Kuadrat Fungsi f: R R yang didefinisikan : f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c € R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat

10 Fungsi Turunan Fungsi f : R R adalah suatu fungsi yang diketahui dan f ditentukan oleh : f’(x) = maka f’(x) disebut fungsi turunan

11 Komposisi Fungsi Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan
menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi.

12 x  A dipetakan oleh f ke y  B ditulis f : x → y atau y = f(x)
C z g f x  A dipetakan oleh f ke y  B ditulis f : x → y atau y = f(x) y  B dipetakan oleh g ke z  C ditulis g : y → z atau z = g(y) atau z = g(f(x))

13 maka fungsi yang memetakan x  A ke z  C
B C x z y f g g o f maka fungsi yang memetakan x  A ke z  C adalah komposisi fungsi f dan g ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

14 contoh 1 f : A → B dan g: B → C didefinisikan seperti pada gambar
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b) A B C a b p q 1 2 3 f g

15 Jawab: (g o f)(a) = ? f(a) = 1 dan g(1) = q
C a b p q 1 2 3 f g f(a) = 1 dan g(1) = q Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

16 Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p
(g o f)(b) = ? A B C a b p q 1 2 3 f g f(b) = 3 dan g(3) = p Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

17 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
contoh 2 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .

18 Jawab: g(2x+ p) = f(3x + 120) 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 g(f(x)) = f(g(x)) g(2x+ p) = f(3x + 120) 3(2x + p) = 2(3x + 120) + p 6x + 3p = 6x p 3p – p = 360 – 120 2p = 240  p = 120

19 Sifat Komposisi Fungsi
Tidak komutatif: f o g ≠ g o f 2. Bersifat assosiatif: f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h 3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x f o I = I o f = f

20 contoh 1 f : R → R dan g : R → R f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
Tentukan: a. (g o f)(x) b. (f o g)(x)

21 Jawab: f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
(g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 + 5 = 2(9x2 – 6x + 1) + 5 = 18x2 – 12x = 18x2 – 12x + 7

22 b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5) = 3(2x2 + 5) – 1 = 6x2 + 15 – 1
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5) = 3(2x2 + 5) – 1 = 6x – 1 (f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif

23 contoh 2 f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x
Tentukan: a. (f o g) o h b. f o (g o h)

24 Jawab: f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x
((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) (f o g)(x) = (x2 – 1) – 1 = x2 – 2 (f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) = (1/x)2 – 2

25 (f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x (f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x)) (g o h)(x)= g(1/x) = (1/x)2 – 1 = 1/x2 - 1 f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1) = (1/x2 – 1) – 1 =(1/x)2 – 2

26 I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
contoh 3 I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 Tentukan: (f o I)(x) dan (g o I) (I o f) dan (I o g)

27 I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
Jawab: I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 (f o I)(x) = x2 (g o I)(x) = x + 1 (I o f)(x) = x2 (I o g)(x) = x + 1 (I o f)(x) = (f o I) = f

28 Fungsi Yang Lain Diketahui
Menentukan Suatu Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Yang Lain Diketahui

29 Contoh 1 Diketahui f(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = x2 + 5
Tentukan g(x).

30 Jawab f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5 fg(x)] = x2 + 5
3.g(x) = x = x2 + 6 Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

31 contoh 2 Diketahui g(x) = x + 9 dan (f o g)(x) = ⅓x2 – 6
maka f(x) = … .

32 Jawab: g(x) = x + 9 (f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6 f(x + 9) = ⅓x2 – 6
Misal: x + 9 = y  x = y – 9 f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

33 f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6 = ⅓(y2 – 18y + 81) – 6 = ⅓y2 – 6y – 6 Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21

34 contoh 3 Diketahui f(x) = x – 3 dan (g of)(x) = x2 + 6x + 9
maka g(x – 1) = … .

35 (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9
Jawab: f(x) = x – 3; (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9 g(x – 3) = x2 + 6x + 9 Misal: x – 3 = y  x = y + 3 g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9 = y2 + 6y y

36 g(y) = y2 + 6y y = y2 + 12y + 36 g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36 = x2 – 2x x – = x2 + 10x + 25 Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25

37 Contoh 4 Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1
Nilai g(-2) =….

38 f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1
Jawaban: f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1 f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1 f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1 2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1 2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2 g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

39 g(x + 1) = -x2 – 2x – 1 g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1 g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1 = -1 – 2 – 1 = -4 Jadi g(2) = - 4

40 Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Menentukan invers suatu fungsi

41 Fungsi invers

42 ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y TEOREMA f : A ® B dan f-1 : B ® A f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A    f    f-1            A ® B ® A   (f-1 o f) f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B   f-1   f B ® A ® B  (f o f-1)

43 Misal fungsi f : A B maka invers fungsi f dinyatakan dengan Jika y = f (x) maka Contoh : Tentukan invers fungsi a. f (x) = 2 x misalnya : y = 2x x = y-6

44

45 Cara lain :

46

47 Rumus Fungsi (gof)’(x) dan (fog)’ (x)

48 Contoh Diketahui : f(x) = x – 1 g(x) = 1/x x tidak sama dengan nol
Ditanyakan : a.) rumus fungsi (gof)’(x) dan (fog) (x) b.) daerah asal fungsi (gof)’(x) dan (fog)’(x) SOLUSI a.) (gof)(x) = g (f(x)) (gof)’ (y) = y +1/ y = g (x-1) (g0f)’(x) = x +1/ x = 1/x-1 (gof)(x) = y 1/ x = y xy – y = 1 xy = y + 1 x = y +1/ y

49 (fog)(x) = f(g(x)) Hasil Akhir
= f(1/x) = (1/x) – 1 (gof)’(x) = (x + 1)/x (fog)(x) = (1-x)/x (fog)’(x) = 1/(x+ 1) (fog)(x) = y (1-x)/x = y xy = 1 - x xy + x = 1 x(y +1) = 1 x = 1/(y +1) (fog)’(y) = 1/(y + 1) (fog)’(x) = 1/(x+1)

50 Terimakasih atas perhatiannya
Wassalamualaikum wr. wb.