Pengintegralan Numerik

Presentasi berjudul: "Pengintegralan Numerik"— Transcript presentasi:

1 Pengintegralan Numerik

2 Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.

3 Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi f(x) x x0 x1 xn-1 xn

4 Dasar Pengintegralan Numerik
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

5 Dasar Pengintegralan Numerik
Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

6 fn (x) bisa fungsi linear
fn (x) bisa fungsi kuadrat

7 fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

8 Polinomial dapat didasarkan pada data

9 Formula Newton-Cotes Aturan Trapesium : Linier
Aturan Simpson’s 1/3 : Kuadrat Aturan Simpson’s 3/8 : Kubik Aturan Boole : Orde Empat

10 Aturan Trapesium Aproksimasi garis lurus (linier) f(x) L(x) x x0 x1

11 Contoh: Aturan Trapesium
Hitung integral dari Solusi eksak Aturan trapesium

12 Aturan Komposisi Trapesium
f(x) x x0 h x1 h x2 h x3 h x4

13 Aturan Komposisi Trapesium
function f = example1(x) % a = 0, b = pi f=x.^2.*sin(2*x);

14 Aturan Komposisi Trapesium
» a=0; b=pi; dx=(b-a)/100; » x=a:dx:b; y=example1(x); » I=trap('example1',a,b,1) I = e-015 » I=trap('example1',a,b,2) e-015 » I=trap('example1',a,b,4) » I=trap('example1',a,b,8) » I=trap('example1',a,b,16) » I=trap('example1',a,b,32) » I=trap('example1',a,b,64) I = » I=trap('example1',a,b,128) » I=trap('example1',a,b,256) » I=trap('example1',a,b,512) » I=trap('example1',a,b,1024) » Q=quad8('example1',a,b) Q = MATLAB function

15 n = 2 I = e-15 Exact =

16 n = 4 I = Eksak =

17 n = 8 I = Eksak =

18 n = 16 I = Eksak =

19 Aturan Komposisi Trapesium
Hitung integral dari

20 Aturan Komposisi Trapesium
» x=0:0.04:4; y=example2(x); » x1=0:4:4; y1=example2(x1); » x2=0:2:4; y2=example2(x2); » x3=0:1:4; y3=example2(x3); » x4=0:0.5:4; y4=example2(x4); » H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d'); » set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12); » xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)'); » I=trap('example2',0,4,1) I = 2.3848e+004 » I=trap('example2',0,4,2) 1.2142e+004 » I=trap('example2',0,4,4) 7.2888e+003 » I=trap('example2',0,4,8) 5.7648e+003 » I=trap('example2',0,4,16) 5.3559e+003

21 Aturan Komposisi Trapesium

22 Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola L(x) f(x) x x0 h

23 Aturan Simpson 1/3

24 Aturan Simpson 1/3

25 Aturan Komposisi Simpson
f(x) …... x x0 h x1 h x2 h x3 h x4 xn-2 xn-1 xn

26 Aturan Komposisi Simpson
Hitung integral dari n = 2, h = 2 n = 4, h = 1

27 Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik L(x) f(x) x x0 h x1

28 Aturan Simpson 3/8 Error Pemenggalan

29 Aturan Simpson 3/8 Hitung integral dari Aturan Simpson 1/3

30 Aturan Komposisi Simpson
function I = Simp(f, a, b, n) % integral of f using composite Simpson rule % n must be even h = (b - a)/n; S = feval(f,a); for i = 1 : 2 : n-1 x(i) = a + h*i; S = S + 4*feval(f, x(i)); end for i = 2 : 2 : n-2 S = S + 2*feval(f, x(i)); S = S + feval(f, b); I = h*S/3;

31 Aturan Simpson

32 Aturan Komposisi Simpson

33 MATLAB Function: trapz
Z = trapz(x,y) » x=[ ] x = Columns 1 through 7 Columns 8 through 11 » y=x.*exp(2.*x) y = 1.0e+004 * » integr = trapz(x,y) integr = 5.3651e+003

34 Sumber: