Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pengintegralan Numerik. Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pengintegralan Numerik. Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi)"— Transcript presentasi:

1 Pengintegralan Numerik

2 Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.

3 Dasar Pengintegralan Numerik  Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi x0x0 x1x1 xnxn x n-1 x f(x)f(x)

4 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak. Dasar Pengintegralan Numerik

5 Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada  Nilai hampiran f(x) dengan polinomial Dasar Pengintegralan Numerik

6  f n (x) bisa fungsi linear  f n (x) bisa fungsi kuadrat

7  f n (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

8  Polinomial dapat didasarkan pada data

9  Formula Newton-Cotes  Aturan Trapesium : Linier  Aturan Simpson’s 1/3 : Kuadrat  Aturan Simpson’s 3/8 : Kubik  Aturan Boole : Orde Empat

10 Aturan Trapesium Aproksimasi garis lurus (linier) x0x0 x1x1 x f(x)f(x) L(x)

11 Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan trapesium

12 Aturan Komposisi Trapesium x0x0 x1x1 x f(x)f(x) x2x2 hhx3x3 hhx4x4

13 function f = example1(x) % a = 0, b = pi f=x.^2.*sin(2*x); Aturan Komposisi Trapesium

14 » a=0; b=pi; dx=(b-a)/100; » x=a:dx:b; y=example1(x); » I=trap('example1',a,b,1) I = e-015 » I=trap('example1',a,b,2) I = e-015 » I=trap('example1',a,b,4) I = » I=trap('example1',a,b,8) I = » I=trap('example1',a,b,16) I = » I=trap('example1',a,b,32) I = » I=trap('example1',a,b,64) I = » I=trap('example1',a,b,128) I = » I=trap('example1',a,b,256) I = » I=trap('example1',a,b,512) I = » I=trap('example1',a,b,1024) I = » Q=quad8('example1',a,b) Q = MATLAB function Aturan Komposisi Trapesium

15 n = 2 I = e-15 Exact =

16 n = 4 I = Eksak =

17 n = 8 I = Eksak =

18 n = 16 I = Eksak =

19 Hitung integral dari Aturan Komposisi Trapesium

20 » x=0:0.04:4; y=example2(x); » x1=0:4:4; y1=example2(x1); » x2=0:2:4; y2=example2(x2); » x3=0:1:4; y3=example2(x3); » x4=0:0.5:4; y4=example2(x4); » H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d'); » set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12); » xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)'); » I=trap('example2',0,4,1) I = e+004 » I=trap('example2',0,4,2) I = e+004 » I=trap('example2',0,4,4) I = e+003 » I=trap('example2',0,4,8) I = e+003 » I=trap('example2',0,4,16) I = e+003 Aturan Komposisi Trapesium

21

22 Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola x0x0 x1x1 x f(x)f(x) x2x2 hh L(x)L(x)

23 Aturan Simpson 1/3

24

25 Aturan Komposisi Simpson x0x0 x2x2 x f(x)f(x) x4x4 hhx n-2 hxnxn …... hx3x3 x1x1 x n-1

26  Hitung integral dari n = 2, h = 2 n = 4, h = 1 Aturan Komposisi Simpson

27 Aturan Simpson 3/8  Aproksimasi dengan fungsi kubik x0x0 x1x1 x f(x) x2x2 hh L(x) x3x3 h

28  Error Pemenggalan Aturan Simpson 3/8

29  Hitung integral dari  Aturan Simpson 1/3  Aturan Simpson 3/8 Aturan Simpson 3/8

30 function I = Simp(f, a, b, n) % integral of f using composite Simpson rule % n must be even h = (b - a)/n; S = feval(f,a); for i = 1 : 2 : n-1 x(i) = a + h*i; S = S + 4*feval(f, x(i)); end for i = 2 : 2 : n-2 x(i) = a + h*i; S = S + 2*feval(f, x(i)); end S = S + feval(f, b); I = h*S/3; Aturan Komposisi Simpson

31 Aturan Simpson Aturan Simpson

32 Aturan Komposisi Simpson

33 MATLAB Function : trapz » x=[ ] x = Columns 1 through Columns 8 through » y=x.*exp(2.*x) y = 1.0e+004 * Columns 1 through Columns 8 through » integr = trapz(x,y) integr = e+003  Z = trapz(x,y)

34 Sumber:


Download ppt "Pengintegralan Numerik. Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google