Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Interpolasi Umi Sa’adah. Interpolasi Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Interpolasi Umi Sa’adah. Interpolasi Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi."— Transcript presentasi:

1 Interpolasi Umi Sa’adah

2

3 Interpolasi

4 Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

5 x0x0 x1x1 x f(x)f(x) L(x) Interpolasi Linier

6 Interpolasi Kudrat x0x0 x1x1 x f(x)f(x) x2x2 hh L(x)L(x)

7 Interpolasi Qubic x0x0 x1x1 x f(x) x2x2 hh L(x) x3x3 h

8 Interpolasi dg Polinomial

9 Figure : Higher order polynomial interpolation is a bad idea Original Function 16 th Order Polynomial 8 th Order Polynomial 4 th Order Polynomial

10 Uji Coba

11 Interpolasi Kuadratik Titik yang digunakan F(x) = x 2 + 1

12 Interpolasi Polinom derajat 4 Titik yang digunakan F(x) = x x 2 + 1

13 Interpolasi Polinom derajat 4

14 Contoh 2 : Titik2 yang digunakan untuk menghitung interpolasi n = 3 (-3,-63) (3,-9) (0,0) (-2,-24)

15 Contoh 2 : Persamaan -27a3 + 9a2 – 3a1 + a0 = a3 + 9a2 + 3a1 + a0 = -9 -8a3 + 4a2 – 2a1 + a0 = -24 a0 = 0 Didapatkan : a0=0, a1= e-15, a2=-4 dan a3 = 1 Sehingga didapatkan pers sbb : X 3 – 4x e-15X (-3,-63) (3,-9) (0,0) (-2,-24)

16 Hasil

17 Interpolasi Linier ide dasar : pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.

18 Interpolasi Linier

19 Polinom yang menginterpolasi 2 titik : Didapat 2 persamaan sbb : Dengan proses eliminasi didapatkan : Sehingga persamaan mjd : Dengan sedikit manipulasi aljabar didapat : Interpolasi Linier

20 Sehingga, persamaan untuk interpolasi linier:

21 Contoh : Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan. Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

22 Contoh : maka untuk mencari nilai x=45 maka,

23 Example The upward velocity of a rocket is given as a function of time in Table 1. Find the velocity at t=16 seconds using linear splines. tv(t) sm/s Table : Velocity as a function of time Figure : Velocity vs. time data for the rocket example

24 Linear Interpolation

25 Interpolasi Kuadrat F(x) = ax 2 + bx + c

26 Interpolasi Kuadrat Titik-titik data (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) Hitung a0, a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss

27 Interpolasi Kuadrat (Versi lain) Untuk memperoleh titik baru Q (x,y)

28 Contoh : Diberikan titik ln(8) = , ln(9) = , ln(9.5) = Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a2 + 8 a1 + a0 = a2 + 9 a1 + a0 = a a1 + a0 = Penyelesaian a2= a1 = a0 = Jadi polinom kuadratnya = Sehingga p2(9.2) =

29 Interpolasi Qubic x0x0 x1x1 x f(x) x2x2 hh L(x) x3x3 h

30 Interpolasi Qubic Terdapat 4 titik data (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) dan (x 3,y 3 ) p 3 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Polinom p 3 (x) ditentukan dengan cara Masukan (x i,y i ) ke dalam persamaan a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a 3 x 0 3 = y 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a 3 x 1 3 = y 1 a 0 + a 1 x 2 + a 2 x a 3 x 2 3 = y 2 a 0 + a 1 x 3 + a 2 x a 3 x 3 3 = y 3 Hitung a 0, a 1, a 2, dan a 3

31 Metode Lain Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tsb kurang disukai, karena mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi. Terdapat beberapa metode polinom interpolasi : Polinom Lagrange Polinom Newton Polinom Newton Gregory

32 Polinom Lagrange Polinom berderajat satu Dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi Atau dapat dinyatakan dalam bentuk (*) Dimana Persamaan * dinamakan Polinom Lagrange derajat 1.

33 Polinom Lagrange

34 Bentuk umum Polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n+1) titik berbeda adalah : Yang dalam hal ini

35 Contoh : Hampiri fungsi f(x) = cos(x) dengan polinom interpolasi derajat tiga pada range [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik x 0 = 0.0, x 1 = 0.4, x 2 = 0.8, x 3 = 1.2 Perkirakan nilai p3(0.5) dan bandingkan dengan nilai sebenarnya. XiXi yiyi

36 Contoh : Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik tsb.

37 Polinom Newton Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara p n-1 (x) dan p n (x) pada polinom Lagrange Polinom Newton bisa mengatasi hal ini, di mana polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.

38 Polinom Newton Persamaan Polinom Linier Bentuk pers ini dapat ditulis : Yang dalam hal ini (1) Dan (2) Persaman ini merupakan bentuk selish terbagi (divided- difference)

39 Polinom Newton Polinom kuadratik

40 Polinom Newton Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :

41 Polinom Newton Nilai konstanta a 0, a 1, a 2,…, a n, merupakan nilai selisih terbagi (ST), dengan nilai Yang dalam hal ini

42 Polinom Newton ixixi y i = f(x i )ST-1ST-2ST-3 0x0x0 y0y0 f[x 1, x 0 ]f[x 2, x 1, x 0 ]f[x 3, x 2, x 1, x 0 ] 1x1x1 y1y1 f[x 2, x 1 ]f[x 3, x 2, x 1 ] 2x2x2 y2y2 f[x 3, x 2 ] 3x3x3 y3y3

43 Polinom Newton Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai : Rekurens basis Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :

44 Contoh Soal : Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3. xixi yiyi ST-1ST-2ST-3ST

45 Contoh Soal : Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :

46 Contoh Soal : Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x 0 = 0 sebagai titik pertama :

47 Contoh Soal : Nilai fungsi di x=2.5 dengan polinom derajat 3 adalah : Nilai sejati f(2.5) adalah f(2.5) = cos(2.5)= Jadi solusi hampiran mengandung error = – ( ) =

48 Grafik f(x) vs p 1 (x)

49 Grafik f(x) vs p 2 (x)

50 Grafik f(x) vs p 3 (x)

51 Grafik f(x) vs p 4 (x)


Download ppt "Interpolasi Umi Sa’adah. Interpolasi Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google