Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 Interpolasi Newton dan Lagrange. Interpolasi Polinomial 2 Diketahui:n titik data (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), … (x n, y n ) Ditanya:a 0, a 1, …, a n sehingga.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 Interpolasi Newton dan Lagrange. Interpolasi Polinomial 2 Diketahui:n titik data (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), … (x n, y n ) Ditanya:a 0, a 1, …, a n sehingga."— Transcript presentasi:

1 1 Interpolasi Newton dan Lagrange

2 Interpolasi Polinomial 2 Diketahui:n titik data (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), … (x n, y n ) Ditanya:a 0, a 1, …, a n sehingga Dua titik data: Garis Tiga titik data: Kuadratik Empat titik data:Polinomial tingkat-3 … n titik data:Polinomial tingkat-n Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?

3 Interpolasi Linear 3 Diketahui: Dua titik(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) Ditanya:Garis yang melewati 2 titik tersebut Contoh: f(x) = ln x x 1 = 1 dan x 2 = 6: f 1 (2) = x 1 = 1 dan x 2 = 4 f 1 (2) = ln 2 = Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

4 Interpolasi Kuadratis 4 Diketahui: Tiga titik(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3,y 3 ) Ditanya:kuadratis f 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 yang melewati ke-3 titik diatas Contoh: f(x) = ln x Titik data: (1, 0), (4, ), (6, ) b 0 = 0 b 1 = ( – 0)/(4 – 1) = b 2 = [( – )/(6-4) – ]/(6-1) = f 2 (2) = ln 2 =

5 Interpolasi Polynomial Newton 5 Diketahui: n titik (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), …, (x n, y n )(y i = f(x i ), i=1,2,…,n) Ditanya:f n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n yang melewati n titik tersebut. dengan Rekursif!

6 Contoh Interpolasi Polynomial Newton 6 Diketahui: (1, 0), (4, ), (6, ), (5, ) (dari fungsi ln x) Ditanya:Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 f 3 (2) = 0.629

7 Contoh Interpolasi Polynomial Newton 7 x0x0 x1x1 x3x3 x2x2

8 Perkiraan Error Polynomial Newton 8 Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor, error setelah terms ke-n adalah: Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi: Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan (Ingat: f n+1 (x) = f n (x) + R n )

9 Perkiraan Error, Orde, dan Titik data 9 xf(x) = ln x Perkiraan Error polynomial Newton f k (x) pada ln 2: k = 1,2,…,7 xf(x) = ln x

10 Polinomial Interpolasi Lagrange 10 dengan Contoh:

11 Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange 11 L0f(x0)L0f(x0) L1f(x1)L1f(x1) L2f(x2)L2f(x2)

12 Interpolasi Inverse 12 x Interpolated point of (x c, f(x c )) Interpolated curve true curve f n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n interpolasi y c = f n (x c ) Bagimana inverse-nya: f n (y) = a 0 + a 1 y + a 2 y 2 + … + a n y n interpolasi x c = f n (y c ) Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

13 Extrapolasi 13 Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis! Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!

14 Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial 14 Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000 titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000 Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat rentan dengan instabilitas numerik. Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.

15 Interpolasi Spline 15 Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan datatitik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh

16 Interpolasi Spline Kuadratis 16 Diketahui:n+1 Titik data (x i, y i ) untuk i=0,1,…,n Ditanya: polynomials derajat-2 n f i (x) = a i x 2 + b i x + c i sedemikian sehingga 1. f i (x) menginterpolasi dua titik (x i-1, y i-1 ) dan (x i, y i ), dan 2. f i (x) dan f i-1 (x) punya turunan yang sama pada x i-1.

17 Turunan Quadratic Spline 17 1.f i-1 (x i-1 ) = a i-1 x i b i-1 x i-1 + c i-1 = y i-1 f i (x i-1 ) = a i x i b i x i-1 + c i = y i-1 2n – 2 persamaan 2.f 1 (x 0 ) = a 1 x b 1 x 0 + c 1 = y 0 f n (x n ) = a n x n 2 + b n x n + c n = y n 2 persamaan 3.(the 1 st derivative at the interior knots must be equal) f i-1 ’(x i-1 ) = 2a i-1 x i-1 + b i-1 = 2a i x i-1 + b i = f i ’(x i-1 ) n– 1 persamaan

18 Contoh of Quadratic Spline 18


Download ppt "1 Interpolasi Newton dan Lagrange. Interpolasi Polinomial 2 Diketahui:n titik data (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), … (x n, y n ) Ditanya:a 0, a 1, …, a n sehingga."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google