Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

8. INTEGRASI NUMERIK (Lanjutan). 8.8 Metode Newton-Cotes Bentuk umum dari metode Newton-Cotes ditunjukkan pada persamaan berikut. n = jumlah pias (strip)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "8. INTEGRASI NUMERIK (Lanjutan). 8.8 Metode Newton-Cotes Bentuk umum dari metode Newton-Cotes ditunjukkan pada persamaan berikut. n = jumlah pias (strip)"— Transcript presentasi:

1 8. INTEGRASI NUMERIK (Lanjutan)

2 8.8 Metode Newton-Cotes Bentuk umum dari metode Newton-Cotes ditunjukkan pada persamaan berikut. n = jumlah pias (strip) h = lebar pias = (b – a)/n f i = f (x i ) x i = a + ih α = koefisien β = koefisien E = Galat (8.9)

3 nβα0α0 α1α1 α2α2 α3α3 α4α4 α5α5 α6α6 α7α7 11/211 21/ / / / / / Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes

4 nE 1 –1/12 f  h 3 2–1/12 f (4) h 5 3–3/80 f (4) h 5 4–8/945 f (6) h 7 5–275/12096 f (6) h 7 6–9/1400 f (8) h 9 7–8123/ f (8) h 9 Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes (lanjutan) Tabel 8.1 adalah tujuh dari 10 rumus Newton-Cotes. Rumus 1 sampai 4 masing- masing didapat dengan aturan trapesium, Simpson 1/3, Simpson 3/8, dan Boole. Rumus 5 dan seterusnya didapat dengan menggunakan polinom interpolasi selisih maju derajat 4, 5, dan seterusnya.

5 Contoh 8.6 Turunkan rumus Newton-Cotes derajat 4 Penyelesaian xf (x) ff 2f2f 3f3f 4f4f x0x1x2x3x4x0x1x2x3x4 f0f1f2f3f4f0f1f2f3f4 f0f1f2f3f0f1f2f3 2f02f12f22f02f12f2 3f03f13f03f1 4f04f0

6 = 4f  f /3  2 f 0 + 8/3  3 f 0 +42/135  4 f 0

7  f 0 = f 1 – f 0  2 f 0 =  f 1 –  f 0 = (f 2 – f 1 ) – (f 1 – f 0 ) = f 2 – 2f 1 + f 0  3 f 0 =  2 f 1 –  2 f 0 = (f 3 – 2f 2 + f 1 ) – (f 2 – 2f 1 + f 0 ) = f 3 – 3f 2 + 3f 1 – f 0  4 f 0 =  3 f 1 –  3 f 0 = (f 4 – 3f 3 + 3f 2 – f 1 ) – (f 3 – 3f 2 + 3f 1 – f 0 ) = f 4 – 4f 3 + 6f 2 – 4f 1 + f 0

8 I = 4f  f /3  2 f 0 + 8/3  3 f /135  4 f 0 = 4 f 0 + 8( f 1 – f 0 ) + 20/3(f 2 – 2f 1 + f 0 )+8/3(f 3 –3f 2 + 3f 1 – f 0 ) +42/135 (f 4 – 4f 3 + 6f 2 – 4f 1 + f 0 ) = 4 f f 1 – 8 f /3 f 2 – 40/3f /3f 0 + 8/3f 3 – 8f 2 + 8f 1 – 8/3f /135 f 4 –168/135f /135f 2 –168/135f /135f 0 = 42/135 f /135 f /135 f /135 f /135 f 4 = 14/45 f 0 +64/45 f /45 f /45 f /45 f 4 = 28/90 f /90 f /90 f /90 f /90 f 4 = 4(1/90)(7f f /90 f /90 f 3 + 7/90 f 4 ) n = 4,  = 1/90, α 0 = 7, α 1 = 32, α 2 = 12, α 3 = 32, α 4 = 7

9 8.9 Kuadratur Gauss Hasil integrasi sejati f (x) dari titik a sampai titik b adalah Hasil integrasi sejati ditunjukkan pada Gambar 8.7a. Jika integrasi diselesaikan dengan menggunakan metode trapesium, maka (8.10) (8.11) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.7b. Galat pada metode trapesium dapat diperkecil dengan menggunakan metode Kuadratur Gauss.

10 Gambar 8.7 f (x) x x a b (b)(b) (a)(a)

11 Jika kaidah trapesium diterapkan pada fungsi konstan atau fungsi linier, dan ditulis dalam bentuk koefisien tak tentu, maka akan menghasilkan nilai sejati dalam bentuk (8.12) Persamaan (8.12) adalah rumus Gauss-Legendre 2 titik. Persamaan (8.12) dapat digeneralisir menjadi rumus Gauss-Legendre untuk n titik. (8.13)

12 Gabungkan pers. (810) dengan (8.13) didapat Selanjutnya lakukan transformasi bidang x ke bidang t. Dari Gambar 8.8 x = a  t = –1 x = b  t = 1 Didapat (8.15) (8.16) (8.14)

13 Gambar 8.8 Transformasi bidang x ke bidang t F (t) t –1 t 1 t 2 1 (b)(b) f (x) x a x 1 x 2 b (a)(a)

14 maka persamaan (8.16) menjadi(8.18) Jika (8.17) dan dx = m dt (8.19) Dari persamaan (8.18), didapat f (x) = f (mt + c) Definisikan F(t) = f (mt + c) = f (x) (8.20) Substitusi pers. (8.15) – (8.20) ke pers. (8.14), didapat (8.21)

15 n = 1 dan nilai F(t) = 1, t, t 2, dan t 3 Berikut akan ditentukan nilai untuk Dari persamaan (8.21) didapat (8.23a) (8.22)

16 (8.23b) (8.23c) (8.23d)

17 Persamaan (8.23 a) sampai (8.23d) Didapat C 1 = C 2 = 1

18 Nilai parameter Kuadratur Gauss ntiti CiCi Order 2 –0, , –0, , , , , –0, –0, , , , , ,

19 Contoh 8.7 Diketahu f(x) = 1/x, batas bawah = 3,1, batas atas 3,9. Tentukan hampiran integrasi f(x) dengan menggunakan kuadratur Gauss dua titik dengan satu interval. Penyelesaian f(x) = 1/x ; a = 3,1; b = 3,9 ; n = 2

20 x = mt + c = 0,4 t + 3,5  dx = m dt = 0,4 dt Dari persamaan (8.21)

21


Download ppt "8. INTEGRASI NUMERIK (Lanjutan). 8.8 Metode Newton-Cotes Bentuk umum dari metode Newton-Cotes ditunjukkan pada persamaan berikut. n = jumlah pias (strip)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google