Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 2. 2 Formula Langkah Ganda (Multistep) Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 2. 2 Formula Langkah Ganda (Multistep) Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1)"— Transcript presentasi:

1 Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 2

2 2 Formula Langkah Ganda (Multistep) Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1) titik, x n, x n-1,..., x n-m. (8-44)

3 3 Formula Langkah Ganda (Multistep) –Dlm. notasi Newton backward formula masukkan polinom ini ke (8-44), mk. didapat : di mana utk. m = 4,  0 = 1,  1 = 1/2,  2 = 5/12,  3 = 3/8,  4 = 2  /720, m = 0, Euler Formula (8-45) disebut metode Adams-Bashforth. (8-45)

4 4 Formula Langkah Ganda (Multistep) Pemakaian Tabel-Difference (m = 3) x n-3 y n-3 f n-3  f n-3 x n-2 y n-2 f n-2  2 f n-2  f n-2  3 f n-3 x n-1 y n-1 f n-1  2 f n-2  f n-1 x n y n f n (8-45) menjadi : y n+1 = y n + h(f n + ½  f n-1 + 5/12  2 f n-2 + 3/8  3 f n-3 ) Dng. memakai definisi  i f s, diperoleh : y n+1 = y n + h/24 (55f n - 59 f n f n f n-3 ) Dng. kesalahan : E AB = h 5 y v (  ) 251/720

5 5 Catatan Formula langkah ganda tidak dapat berjalan tanpa adanya m-1 nilai awal. Nilai awal ini biasanya didapat dari metode langkah tunggal, biasanya order formula langkah tunggal = formula langkah ganda. Koefisien metode Adams-Bashforth utk. O(h s ), koefisien suku kesalahan lebih besar dibanding formula RK yg. juga O(h s ). Di setiap langkah x n ke x n+1, langkah ganda hanya perlu menghitung sekali harga f, sedang RK perlu harga f lebih dari 1. Jadi langkah ganda lebih cepat.

6 6 Metode Prediktor-Korektor Metode langkah ganda biasa, f(x, y) diinterpolasi pada titik x n, x n-1, …, x n-m. [tipe terbuka] Metode langkah ganda prediktor-korektor, f(x, y) diinterpolasi pada titik x n+1, x n, x n-1, …, x n-m. [tipe tertutup] diaproksimasi (dekati) oleh formula integral trapesium, mk. diperoleh : Error formula ini : -(h 3 /12)y’’’, tetapi implisit (mengandung y n+1, di sebelah kanan).

7 7 Metode Prediktor-Korektor Untuk memulainya harus dipredik (taksir) dng. formula eksplisit (Euler, RK), baru lakukan iterasi (korektor). Algoritma 8-4 Diberikan y’ = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, h, x n = x 0 + nh, n = 0, 1,... –Hitung y n+1 (0) dng. y n+1 (0) = y n + hf(x n, y n ) –Hitung y n+1 (k) (k = 1, 2,...) dng. y n+1 (k) = y n + h/2[f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 (k-1) )] sampaidiberikan. Catatan : –Iterasi 2 biasanya akan konvergen dng. cepat (k kecil) jika prediktor dan korektor punya order sama dan h cukup kecil. –Jika tidak konvergen, sebaiknya h diperkecil.

8 8 Metode Adams-Moulton (Prediktor-Korektor Order Tinggi) f(x, y(x)) diinterpolasi pd. x n+1, x n, x n-1,..., x n-m, m>0 Dng. mengintegrasi dari x n ke x n+1, diperoleh di mana beberapa nilai  ’ k :  ’ 0 = 1,  ’ 1 = -1/2,  ’ 2 = -1/12,  ’ 3 = -1/24,  ’ 4 = -10/720 utk. m = 2

9 9 Metode Adams-Moulton (Prediktor-Korektor Order Tinggi) Algoritma 8-5 Prediktor-korektor Adam-Moulton. Diberikan y’ = f(x, y), dng. h tetap, x n = x 0 + nh, (y 0, f 0 ), (y 1, f 1 ), (y 2, f 2 ), (y 3, f 3 ),n = 3, 4,... –Hitung y n+1 (0) dng. formula :(Adam-Bosforth) y n+1 (0) = yn + h/24 (55f n – 59f n f n-2 – 9f n-3 ) –Hitung f n+1 (0) = f(x n+1, y n+1 (0) ) –Hitung : (k = 1, 2,...) y n+1 (k) = y n + h/24[9f(x n+1, y n+1 (k-1) + 19f n – 5f n-1 + f n-2 ] –Iterasikan pada k sampai diberikan.

10 10 Menaksir Kesalahan Adams-Bashforth : y(x n+1 ) – y n+1 (0) = 251/720 h 5 y v (  1 ) y(x n+1 ) – y n+1 (1) = -19/720 h 5 y v (  2 ) Secara umum (  1 ≠  2 ), tapi jika dianggap y v konstan, di interval [x 0, x k ] Jd. h 5 y v = 720/270 (y n+1 (1) -y n+1 (0) ) Jd. y(x n+1 ) – y n+1 ’ = -19/270 (y n+1 (1) – y n+1 (0) )  -1/14 (y n+1 (1) – y n+1 (0) ) = D n+1

11 11 Implementasi Secara Umum Diasumsikan, kesalahan lokal per langkah, satuan terbatas (Toleransi) –Hitung y n+1 (0), f n+1 (0) –Hitung y n+1 (1), f n+1 (1) –Hitung |D n+1 | –Jika E 1  |D n+1 |/h  E 2, lanjutkan ke n+2, dng. h yg. sama. –Jk. |D n+1 |/h > E 2, h terlalu besar, h = h/2, hitung 4 nilai-nilai awal (dng. formula RK) & kembali ke 1 –|D n+1 |/h < E 1, lebih akurat, h = 2h, hitung 4 nilai awal, lanjutkan ke n+2.


Download ppt "Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 2. 2 Formula Langkah Ganda (Multistep) Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google