Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Analisa Numerik Aproksimasi Turunan. 2 Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x 0,

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Analisa Numerik Aproksimasi Turunan. 2 Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x 0,"— Transcript presentasi:

1 Analisa Numerik Aproksimasi Turunan

2 2 Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x 0, x 1,..., x k ∈ [c, d] f(x) = P k (x) + f[x 0,..., x k, x]  k (x) di mana P k (x) polinom berderajat  k menginterpolasi f(x) pada x 0,..., x k Perhatikan bahwa f[x 0,..., x k, x] = f[x 0,..., x k, x, x] Jd.: f’(x) = P’k(x) + f[x 0,..., x k, x, x]  k (x) + f[x 0,..., x k, x]  ’ k (x) (7-2)

3 3 Error Definisikan operator D sebagai D(f) = f’(a), a ∈ [c, d]. Kesalahan aproksimasi turunan f adalah : E(f) = D(f) – D(P k ) = f[x 0,..., x k, a, a]  k (a) + [x 0,..., x k, a]  ’ k (a) = utk. Tetapi jarang diketahui f (k+2), f (k+1), dan hampir susah ditentukan Untuk mempermudah mencari E(f), maka a harus ditentukan.

4 4 Error Pilih a = x i maka  k (a) = 0 Pilih a sehingga  ’ k (a) = 0, dng. cara : Pilih x i ∀ i sehingga x i simetris thd. a x a..... x k Dng. mendefinisikan x k-j – a = a – x j, j = 0,..., (k-1)/2

5 5 Contoh Berapa banyak titik yg. dibutuhkan agar dapat menghitung f’(a) ? (k = ?) k = 1, P k (x) = f(x 0 ) + f[x 0, x 1 ](x - x 0 ) D(P k ) = f[x 0, x 1 ] Jk. a = x 0 menurut (7-2) (h = x 1 - x 0 ) f’(a) ≈ f[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h menurut (7-4) Disebut Formula forward-difference a = 1/2 (x 0 + x 1 ) Jd. x0 = a-h x1 = a + h, h = 1/2 (x 1 - x 0 ) diperoleh Formula central-difference

6 6 Contoh k = 2, P k (x) = f(x 0 ) + f[x 0, x 1 ](x - x 0 ) + f[x 0, x 1, x 2 ] (x - x 0 ) (x - x 1 ) Jk. a = x 0 maka dari 7-2 dan 7-4 f’(a) = f[a, x 1 ] + f[a, x 1, x 2 ](a - x 1 ) + 1/6 (a - x 1 )(a - x 2 )f’’’(  ) (7-9) Lalu definisikan x 1 = a + h, x 2 = a + 2h, maka (7-9) menjadi Kalau x 1 = a - h, x 2 = a + h, maka

7 7 Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik Aproksimasi derivatif yg. lebih tinggi utk. f(x) f(x) = P k (x) + f[x 0, …, x k, x]  k (x) f’(x) = P’ k (x) + f[x 0, …, x k, x, x]  k (x) + f[x 0, …, x k, x]  ’ k (x) f’’(x) = P’’k(x) + 2f[x 0, …, x k, x, x, x]  k (x) + 2f[x 0, …, x k, x, x]  ’ k (x) + f[x 0, …, x k, x]  ’’ k (x) Pilih k = 2, a = x 0 Jd. f’’(a) = 2f[a, x 1, x 2 ] + 2f[a, x 1, x 2, a, a] (a - x 1 )(a - x 2 ) + f[a, x 1, x 2, a] 2 (a - x 1 + a - x 2 )

8 8 Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik Definisikan x 1 = a + h, x 2 = a + 2h, maka Definisikan x 1 = a - h, x 2 = a + h, maka Jd. jk. a berada di tengah-tengah, formula lebih teliti

9 9 Contoh f’(a) dng. central-difference f’’(a) dng.


Download ppt "Analisa Numerik Aproksimasi Turunan. 2 Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x 0,"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google