Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Dual Problem Inverse dari LP (Primal) Bukan lagi masalah optimal bagi peubah keputusan Masalah optimal bagi sumber daya Untuk mempelajari efek perubahan- perubahan koefisien dan ketersediaan sumber daya pada hasil optimal Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’ dan menjadi aset: konsep “shadow price” Bagaimana memanfaatkan aset tersebut dengan optimal DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

3 Menentukan Dual Problem dari suatu LP (Primal) LP semula dinamakan Primal Problem Jika Primal kasus max → Dual kasus min Jika Primal kasus min → Dual kasus max Dibedakan dari tipe permasalahan ◦ Masalah max yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≤ ◦ Masalah min yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≥ DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

4 Secara Umum Primal ◦ Normal Max DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Dual: ◦ Normal min ◦ Invers dari Primal ◦ Dengan setiap peubah mewakili setiap kendala

5 Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Primal: max z (x 1 ≥0)(x 2 ≥0)…(x n ≥0) x1x1 x2x2 …xnxn a 11 a 12 …a 1n ≤b1 a 21 a 22 …a 2n ≤b2 … …… a m1 a m2 …a mn ≤b m y1y1 y2y2 … ymym Dual: min w (y 1 ≥0) (y 2 ≥0) … (y m ≥0) ≥c 1 ≥c 2 …≥c n Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah primal ke-j Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i

6 Contoh LP Dakota sebagai Primal DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc x 1 : jumlah bangku x 2 : jumlah meja x 3 : jumlah kursi

7 Konsep Dual untuk Masalah Dakota Seolah-olah Dakota akan menjual seluruh sumber daya (aset) nya, kepada pihak lain. Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya ◦ Kayu dengan harga y 1 ◦ Jam finishing dengan harga y 2 ◦ Jam carpentry dengan harga y 3 Fungsi obyektif adalah minimum total biaya yang harus dikeluarkan oleh pihak pembeli aset ◦ Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y 1 ) ◦ Total persediaan jam finishing 20 jam (dengan harga y 2 ) ◦ Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y 3 ) DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

8 Konsep Dual untuk Masalah Dakota Kendala pada Dual: ‘konsep opportunity cost’, Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan bangku lebih besar daripada harga bangku Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan meja lebih besar daripada harga meja Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan kursi lebih besar daripada harga kursi DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

9 ProdukNilai Jual Aset Yang dipakai untuk produksi Harga produk Bangku Meja Kursi Harga setiap aset/sumber daya adalah y i,i=1, 2, 3 x 1 : jumlah bangku x 2 : jumlah meja x 3 : jumlah kursi

10 Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual Dakota Problem DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Primal: max z (x 1 ≥0)(x 2 ≥0)(x 3 ≥0) x1x1 x2x2 x3x3 861≤ ≤ ≤8 y1y1 y2y2 ymym Dual: min w (y 1 ≥0) (y 2 ≥0) (y 3 ≥0) ≥60≥30≥20 Dual

11 Contoh Primal Pada Diet Problem DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc (Calorie constraint) (Chocolate constraint) (Sugar constraint) (Fat constraint) s.t.

12 Konsep Dual untuk Diet Problem Pada primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus dibeli ◦ Memenuhi kebutuhan nutrisi ◦ Dengan biaya minimum Pada dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi: ◦ Kalori, coklat, gula dan lemak ◦ Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal Nutrisi tersebut adalah aset yang kita jual ◦ Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan maksimum Kendala dari sudut pandang calon pembeli: ◦ Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus lebih murah daripada harga makanan masing-masing DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

13 (Calorie constraint) (Chocolate constraint) (Sugar constraint) (Fat constraint) s.t. x 1 : jumlah Brownie x 2 : jumlah Ice Cream x 3 : jumlah Soda x 4 : jumlah Cheesecake y 1 : harga per unit kalori y 2 : harga per unit coklat y 3 : harga per unit gula y 4 : harga per unit lemak MakananNilai Jual NutrisiHarga makanan Brownie Ice cream Soda Cheesecake

14 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Kendala dari sudut pandang pembeli koleksi nutrisi kita Tujuan penjualan nutrisi? Pendapatan maksimum: - Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali harga setiap unit nutrisi

15 Dalam bentuk Tabel Dual vs Primal Diet Problem DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Primal: min z (x 1 ≥0)(x 2 ≥0)(x 3 ≥0)(x 4 ≥0) X1X1 x2x2 x3x3 x4x ≥ ≥6≥6 2244≥ ≥8≥8 y1y1 y2y2 ymym Dual: max w (y 1 ≥0) (y 2 ≥0) (y 3 ≥0) ≤50≤20≤30≤80 s.t.

16 Teorema Dual (Weak Duality) DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Solusi feasibel dari primal: Solusi feasibel dari dual:

17 Contoh Weak Duality pada Dakota Problem DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Solusi feasibel dari primal. Dengan nilai z: Tidak ada solusi dual feasibel dengan w<110 Semua solusi dual feasibel mempunyai w ≥110

18 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Solusi feasibel dari Dual. Dengan nilai w: Semua solusi primal feasibel mempunyai z≤680 Tidak ada solusi primal feasibel dengan z >680

19 Teorema Dual (Strong Duality) DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Solusi optimal dari primal: Solusi optimal dari dual: Maka akan berlaku: Jika BV adalah basis optimal bagi primal maka solusi optimal dari dual adalah:

20 Solusi Dual Dakota Problem berdasarkan Teorema Dual: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Basis optimal bagi primal Solusi optimal bagi dual: Harga setiap aset/sumber daya adalah: -Kayu (y 1 ) seharga $0 -Jam finishing (y 2 ) seharga $10 - Jam carpentry (y 3 ) seharga $10 Dengan harga jual aset: $280

21 Membaca Solusi Dual dari Optimal Tableau Solusi dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal (Primal) Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min Karena peubah dual mewakili kendala dual: ◦ Tergantung pula dari tanda pada kendala ( ≤, ≥, =) DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Tanda pada kendala Solusi Dual ke-i dari baris nol tableau optimal ≤ Koefisien s i ≥ (-) Koefisien e i =Koefisien a i - M PRIMAL kasus MAX PRIMAL kasus MIN Tanda pada kendala Solusi Dual dari baris nol tableau optimal ≤ Koefisien s i ≥ (-) Koefisien e i =Koefisien a i + M

22 Tableau Optimal Dakota’s Problem Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah ≤ Solusi dual (y i, i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah koefisien s i, i=1, 2, 3 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Tableau 2zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Harga setiap aset/sumber daya adalah: -Kayu (y 1 ) seharga $0 -Jam finishing (y 2 ) seharga $10 - Jam carpentry (y 3 ) seharga $10

23 Tableau Optimal Diet’s Problem DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc BV z=90 x3=1 e4=5 e1=432 x2=3 zx1x2x3x4e1e2e3e4a1a2a3a4rhs 1-2, ,5-7,5002,5-M7,5-M 90 Baris 10-0, ,25-0,2500 0,2501 Baris 203, ,75-0,25101,750,255 Baris ,61-126,2-46,636,4126,246,6-36,4432 Baris 401, ,50000,5003 Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥ Solusi dual (y i, i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-) koefisien e i, i=1, 2, 3, 4 Harga setiap aset nutrisi adalah: -Kalori (y 1 ) seharga $0 -Coklat (y 2 ) seharga $2.5 - Gula (y 3 ) seharga $7.5 -Lemak (y 4 ) seharga $0 Dengan harga jual maksimum $90

24 Konsep Shadow Prices (Harga Bayangan) Shadow Price kendala ke-i suatu LP: ◦ Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai optimal z jika jumlah sumber daya (koefisien rhs) bertambah satu unit Dapat dianalisis dari konsep dual DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

25 Konsep Shadow Price dari Dakota’s Problem Nilai optimal keuntungan DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Diperoleh pada ketersediaan: 48 unit kayu 20 jam finishing 8 jam carpentry Dari dual: Setiap unit kayu berharga $0 Setiap jam finishing berharga $10 Setiap jam carpentry berharga $10

26 Nilai optimal z dapat dinyatakan dalam peubah dual: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Harga bayangan finishing hour adalah: Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan finishing hour bertambah 1 jam Perbaikan z sebesar y 2 = $10: Shadow Price

27 Solusi optimal peubah dual ke-i adalah shadow price dari kendala ke-i masalah Primal DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Harga bayangan kayu adalah: Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan kayu bertambah 1 unit Harga bayangan carpentry hour adalah: Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan carpentry hour bertambah 1 jam

28 Konsep Complementary Slackness Dengan logika: Sumber daya yang habis terpakai (s i atau e i =0), pasti sangat berharga Penambahan satu unit dari sumber daya tsb akan menaikkan nilai z (harga bayangan y i >0) Sumber daya yang tidak habis terpakai (s i atau e i >0), dianggap tidak berharga (harga bayangan y i =0) ◦ Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan menaikkan nilai z DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

29 Teorema Complementary Slackness x akan primal optimal dan y akan dual optimal jika dan hanya jika: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Peubah primal Peubah Dual

30 Dari Dakota’s Problem DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Kayu bersisa 24 unit Finishing hour habis terpakai → penambahan akan meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price Tambahan kayu, $0 Tambahan finishing hour $10 Tambahan carpentry hour $10 sisi yiyi


Download ppt "Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google