Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Fungsi Konveks dan Konkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Fungsi Konveks dan Konkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Fungsi Konveks dan Konkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Fungsi konveks dan konkaf memegang peranan penting pada pemrograman non linier Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannya Fungsi tersebut mempunyai daerah asal yang merupakan himpunan konveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

3 Definisi Himpunan Konveks Himpunan   R konveks jika  x’, y”  , maka z= c x’ + (1-c) x’’  , c  [0, 1 ] Himpunan titik­titik di , di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan  dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di  xzy Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

4 (a) dan (b) himpunan konveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

5 Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika  x’, x”   : f(cx ‘+ (1-c) x”) < cf(x’) + (1-c)f(x”), c  [0,1] f(x’) Y * = cf(x’) + (1-c)f(x”) f(x”) Y*Y* Y ** Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

6 Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika  x’, x”   : f(cx’+ (1-c) x”) ≥ cf(x’) + (1-c)f(x”), c  [0,1] f(x’) f(x”) Y*Y* Y ** Y * = cf(x’) + (1-c)f(x”) Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

7 Fungsi Konveks/Konkaf sehubungan dengan TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada  maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada  maka lokaI maksimum adalah global maksimum. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

8 Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 2: Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)  C 1 ) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

9 Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 2 (lanjut): Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)  C 1 ) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

10 Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 3: Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)  C 2 ) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)  C 2 ) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:

11 Contoh: f(x) = e x dan f(x) = x 2 adalah fungsi konveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

12

13 Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X  R n   R n adalah himpunan konveks jika  x’, x”   z = cx’ +(1 - c)x”  , c  [0,1] di mana x’ = (x’ 1,…,x’ n ) dan x” = (x” 1,…,x” " ) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

14 TEOREMA: f :   R adalah fungsi konveks jika  x, y   : – f(cx’ +(1 - c)x” ) ≤cf(x’ )+(1 - c)f(x”), c  [0,1] dan – f(y) > f(x) + (y-x)'  f(x) f :   R adalah fungsi konkaf jika  x, y   : – f(cx’ +(1 - c)x” ) ≥cf(x’ )+(1 - c)f(x”), c  [0,1] dan – f(y) ≤f(x) + (y-x)'  f(x) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X  R n

15 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc di mana: Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan pertama secara parsial terhadap masing-masing x i Selain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi -  Matriks Hessian

16 Matriks Hessian suatu fungsi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Matriks Hessian dari fungsi f(x 1, x 2,…, x n ) adalah n x n matriks yang elemen ke ij nya adalah:

17 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

18

19 Definisi: Minor utama ke-i dari matriks n×n adalah determinan dari matriks i×i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat n minor utama Minor utama ke-1 adalah diagonal utama. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

20 Contoh perhitungan minor utama suatu matriks Pada matriks berukuran 2×2 berikut Dimiliki 2 minor utama Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Minor utama ke-1 adalah determinan dari matriks setelah penghapusan 2 – 1 =1 baris dan kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II):

21 Minor utama ke-2 adalah determinan dari penghapusan 2 – 2 = 0 baris dan kolom dari matriks tsb  determinan dari matriks itu sendiri Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc det = (-2)(-4) – (-1)(-1) = 7

22 TEOREMA: Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor utama dari A bernilai >0 (non negatif) Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif) Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i,i = 1,...,n. Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i,i = 1,...,n Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

23 Sifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan Sifat Matriks Hessian Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

24 Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsi Diberikan fungsi berikut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah: =

25 Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor utama Minor utama ke-1 adalah: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Untuk x 1 ≥0 maka minor utama ke-1: 2 >0 dan 6x 1 ≥0

26 Minor utama ke-2 adalah determinan dari: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Yang bernilai 12x 1 – 4 Hanya akan bernilai ≥0 untuk x 1 ≥ 1/3 Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x 1 ≥ 1/3 Fungsi bersifat konveks untuk x 1 ≥ 1/3

27 Latihan Coba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi berikut ini: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc


Download ppt "Fungsi Konveks dan Konkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google