Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Contoh untuk Algoritma Simpleks Dakota’s Problem Perusahaan furniture Dakota memproduksi bangku, meja dan kursi. Untuk setiap jenis furniture dibutuhkan bahan baku kayu dan 2 jenis waktu pengerjaan: finishing & carpentry Bahan baku dan waktu pengerjaan terbatas Ingin ditentukan jumlah produksi setiap furniture yang memaksimumkan keuntungan

3 Dakota’s Problem dalam Tabel Sumber dayaBangkuMejaKursiKetersediaan Kayu (m2)86148 Finishing (jam) Carpentry (jam) Profit Peubah Keputusan?

4 LP untuk Dakota’s Problem Sumber daya Bangku X1 Meja X2 Kursi X3Ketersediaan Kayu (m2)86148 Finishing (jam) Carpentry (jam) Profit($)603020

5 Algoritma Simpleks Tentukan BFS: BV & NBV Mulai BFS optimal? Selesai Lakukan iterasi untuk menentukan BFS: BV & NBV yang baru Ya Tdk

6 Langkah 1 Algoritma Simpleks Rubah ke bentuk Standar Digunakan slack variabel karena semua kendala ≤ Kendala kayu Kendala finishing Kendala carpentry

7 Langkah 1 Algoritma Simpleks Bentuk Standar LP Baris 0 Baris 1 Baris 2 Baris 3 Modifikasi baris 0 menjadi: Semua peubah di ruas kiri, konstanta di ruas kanan tanda =

8 Langkah 1 Algoritma Simpleks Bentuk Tableau zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris Bentuk Kanonik: bernilai 1 pada variabel tsb, bernilai nol pada variabel lain → spt matriks identitas

9 Langkah 2 Algoritma Simpleks zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris Tentukan BFS (BV dan NBV). BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang berbentuk kanonik. BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

10 Langkah 3 Algoritma Simpleks Apakah BFS tersebut sudah optimal? Dapat dilihat dari koefisien baris 0. zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Satu unit penambahan x 1, menaikkan z sebesar $ 60

11 Langkah 3 Algoritma Simpleks Interpretasi koefisien baris 0 ◦ Bagi NBV  Variabel dengan Koefisien -c: satu unit penambahan variabel tsb menaikkan Z sebesar c.  Variabel dengan koefisien +c: satu unit penambahan variabel tsb menurunkan Z sebesar c. ◦ Variabel dengan koefisien 0: BV zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Semua koefisien bagi NBV adalah < 0 Ada beberapa kemungkinan menaikkan nilai Z dengan menaikkan nilai peubah keputusan: menambah produksi BFS yang ada belum optimal

12 Langkah 3 Algoritma Simpleks zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Produksi satu unit x1 (Bangku) akan menaikkan Z (profit) sebesar 60 ($) Produksi satu unit x2 (Meja) akan menaikkan Z (profit) sebesar 30 ($) Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (profit) sebesar 20 ($) Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar, untuk menggantikan salah satu peubah di BV

13 Langkah 4 Algoritma Simpleks Menentukan peubah BV yang mana yang akan digantikan oleh x1 Dengan melakukan Ratio Test, agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Baris 1 Baris 2 Baris 3 Peubah selainnya tetap = 0

14 Langkah 4 Algoritma Simpleks Semua syarat: Terpenuhi pada: di baris 3 Ratio Test: agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel, dipilih peubah dengan nilai ratio test terkecil zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Pada BFS berikutnya x1 adalah peubah NBV yang akan menggantikan s3 salah satu dari BV Dengan ERO – Elementary Row Operation

15 Langkah 4 Algoritma Simpleks Elementary Row Operation (Operasi baris elementer): operasi antar baris untuk menentukan bentuk kanonik yang baru (BV & NBV yang baru) Di dalam bentuk kanonik baru: Peubah di dalam BV harus mempunyai bentuk kanonik B1B2B3

16 Operasi Baris Elementer zX1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris Pada Iterasi berikutnya ingin diperoleh Tableau sbb:

17 Operasi Baris Elementer Tableau 0 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Initial Tableau (Tableau 0): Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 3 didahulukan (pivot row)

18 Operasi Baris Elementer Tableau 0 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Initial Tableau (Tableau 0): ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row) Baris

19 Operasi Baris Elementer Tableau 0 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Initial Tableau (Tableau 0): ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row) Baris Baris

20 Operasi Baris Elementer Tableau 0 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhs Baris Initial Tableau (Tableau 0): ERO untuk baris 2, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row) Baris Baris Baris 2000, BV z=240 s1=16 s2=4 x1=4

21 Tableau hasil iterasi: Tableau 1 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Pada tableau 1: Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal? Lihat koefisien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan? Peubah dengan Koefisien baris 0 <0?

22 Langkah 3 Algoritma Simpleks, Iterasi ke-2 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Produksi satu unit x2 (Meja) akan menurunkan Z (profit) sebesar 15 ($) Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (profit) sebesar 5 ($) Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar, untuk menggantikan salah satu peubah di BV BFS yang ada belum optimal.

23 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2 Menentukan peubah BV yang mana yang akan digantikan oleh x2 Dengan melakukan Ratio Test, agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Baris 1 Pada baris dengan koefisien negatif, tidak perlu dilakukan ratio test

24 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Baris 2 Baris 3 Pemenang ratio test (terkecil): di baris 2 x3 akan menggantikan s2

25 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2 Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Pada BFS berikutnya x3 adalah peubah NBV yang akan menggantikan s2 salah satu dari BV Dengan ERO – Elementary Row Operation Kolom pivot Tableau 2 mempunyai bentuk kanonik baru: Tableau 2zX1x2X3s1s2s3rhs Baris Baris Baris Baris

26 Operasi Baris Elementer Dengan ERO untuk memperoleh Tableau 2: baris 2 didahulukan (pivot row) Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Tableau 2zx1x2x3s1s2s3rhs Baris

27 Operasi Baris Elementer Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Tableau 2zx1x2x3s1s2s3rhs Baris ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row) Baris

28 Operasi Baris Elementer Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Tableau 2zx1x2x3s1s2s3rhs Baris ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row) Baris Baris

29 Operasi Baris Elementer Tableau 1 zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=240 Baris s1=16 Baris 2000,501-24s2=4 Baris 3010,750,25000,54x1=4 Tableau 2zx1x2x3s1s2s3rhs Baris ERO untuk baris 3, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row) Baris Baris Baris

30 Tableau Hasil Iterasi: Tableau 2 Tableau 2zx1x2x3s1s2s3rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal? Lihat koefisien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan? Semua koefisien baris 0 >=0. Tidak mungkin lagi menaikkan nilai z. BFS sudah Optimal

31 Solusi Optimal Dakota’s Problem Agar keuntungan maksimum, dan produksi yang sesuai dengan kendala (bahan baku dan jam pengerjaan), harus diproduksi sejumlah 2 buah bangku (x1), 8 buah kursi (x3), tanpa memproduksi meja

32 Langkah-langkah Algoritma Simpleks untuk Masalah Max Langkah 1 Rubah LP ke bentuk standar, tuliskan dalam bentuk tableau. Langkah 2 Tentukan BFS (BV dan NBV). BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang berbentuk kanonik. Langkah 3 Jika semua koefisien baris 0 >=0, BFS solusi optimal Selainnya, pilih koefisien paling negatif untuk masuk ke dalam BV Langkah 4 Ratio test (terkecil) untuk menentukan peubah BV mana yang harus digantikan (menjadi NBV)

33 Langkah-langkah Algoritma Simpleks untuk Masalah Max Langkah 4 Lakukan ERO untuk membentuk bentuk kanonik baru, BFS baru (Tableau baru) Kembali ke langkah 3


Download ppt "Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google