Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT Pertemuan-2 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006 TIK: Mhs dapat menjelaskansumber-sumber galat dalam metoda.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT Pertemuan-2 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006 TIK: Mhs dapat menjelaskansumber-sumber galat dalam metoda."— Transcript presentasi:

1 1 DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT Pertemuan-2 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006 TIK: Mhs dapat menjelaskansumber-sumber galat dalam metoda numerik serta mampu menghitung perambatan galat

2 2 DERET TAYLOR Teorema Taylor: Untuk f suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1) dan kontinu dalam selang [a,b], maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor yaitu: f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + … n=~ =  1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n n=o Dimana: f (n) (x 0 ) adalah turunan ke-n dari f(x) untuk x = x 0 x disekitar x 0 dan (x, x 0 )   a,b 

3 3 Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x 0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x 0 Contoh:  1 = 1; Tentukan  1,01=? Jawban: f(x) =  x = (x) 1/2, dengan x = 1,01 dan x 0 = 1 dan x – x 0 = 0,01  f (‘) (x) = ½ x -1/2,   f (‘) (1) = ½ = 0,5 f (“) (x) = -1/4 x -3/2,  f (“) (1) = - ¼ = - 0,25 f (3) (x) = 3/8 x -5/2,  f (3) (1) = 3/8 = 0,375 f (4) (x) = -15/16 x -7/2,  f (4) (1) = -15/16 = - 0,9375

4 4 n012 f (n) (1)10,5-0, ,375- 0,9375 f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01) 2 + (0,16667)(0,375)(0,01) 3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01) 4 + … = 1, (perhitungan tujuh desimal)

5 5 Berikut ini beberapa fungsi yang diekspansikan dalam deret Taylor di sekitar x 0 = 0 1. f(x) = e x = 1 + x + ½! x 2 + 1/3! x 3 + … + 1/n! x n + … n=~ =  (1/n!) x n ………………..untuk -~ < x < ~ n=0 2. f(x) = sin x = x – 1/3! x 3 + 1/5! x 5 + …  1/(2n+1)! X (2n+1) + … n=~ =  (-1) n {1/(2n+1 ) ! } x (2n+1) ……untuk -~ < x < ~ n=0

6 6 4. f(x) = ln (x+1) = x – 1/2 x 2 + 1/3 x 3 - …  1/n x n + … n=~ =  (-1) n+1 (1/n) x n ……………..untuk -1 < x < 1 n=1 3. f(x) = Cos x = 1 – 1/2! x 2 + 1/4! x 4 + …  1/(2n)! X (2n) + … n=~ =  (-1) n {1/(2n ) ! } x (2n) …………untuk -~ < x < ~ n=0

7 7 Animasi deret Taylor untuk f(x) = cos x

8 8 ANALISIS GALAT Galat atau ralat atau kesalahan (error) yaitu selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â) Galat Galat mutlak em= |a - â| Galat relatif er = (em/ â) x 100 %

9 9 Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya Contoh: Perhitungan -1  e m1 = |100,5 – 99,8| = 0,7 Perhitungan -2  e m2 = |10,5 – 9,8| = 0,7 Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti? Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: e m = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01 Jawaban: e r1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 % e r2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 %  ketelitian 92,8571 % Perhitungan -1 lebih teliti.

10 10 Sumber galat numerik 1.Galat pemotongan (trancation error) 2.Galat pembulatan (round-off error) Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksak f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + R n (x) R n (x) = {1/(n+1)!} f (n+1) (  ) x (n+1),  x 0 <  < x Deret Taylor R n (x) adalah galat pemotongan

11 11 Contoh: Cos x = 1 – 1/2! x 2 + 1/4! x 4 + …  1/(2n)! X (2n) + R n (x) = 1 – ½! x 2 +R 1 (x) = 1 – ½! x 2 + ¼! x 4 + R 2 (x) = 1 – ½! x 2 + ¼! x 4 – 1/6! x 6 + R 3 (x) = 1 – ½! x 2 + ¼! x 4 – 1/6! x 6 + ¼! x 8 + R 4 (x) R 1 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R 2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R 3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R 4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4

12 12 Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas Contoh: 1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = … yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = Terdapat galat pembulatan = … Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = Terdapat galat pembulatan = … 2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1) 10 = ( …) 2  (0.1) 10

13 13 Penyajian bilangan Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan. Format floating point ternormalisasi: x =  m.  p  tanda; m mantisa;  bilangan pokok; p eksponen m = 0.d 1 d 2 d 3 …d k   -1  m <1 Untuk sistim bilangan desimal, maka  =  m <1; 1  d 1 < 9; 0  d k < 9 Untuk sistim bilangan biner, maka  =  m <1; d 1 =1 ; 0  d k  1

14 14 Contoh: 1.Sistim bilangan desimal sering juga ditulis E+04 (= 7392) sering juga ditulis E+02 (= ) sering juga ditulis E-03 (= ) 2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa Pangkat bertanda Tanda 0 = + 1 = - Mantisa X = =

15 15 Orde Penghampiran Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi:

16 16 Contoh: 1. a = 3,141592; â = 3,142 â mendekati a teliti sampai tiga desimal Pada deret Taylor: f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + R n (x) R n (x) = {1/(n+1)!} f (n+1) (  ) x (n+1),  x 0 <  < x

17 17 Bila (x-x 0 ) = h atau x = x 0 + h, maka:

18 18 Dapat dituliskan menjadi: p(h) adalah fungsi hampiran untuk f(h) dengan galat O(h n+1 ). O(h n+1 ) disebut sebagai Big-Oh (O-besar). Pada umumnya 0 < h < 1, jadi semakin besar n semakin dekat p(h) menghampiri f(h) Cos h =1 – ½! h 2  O(h 4 ) = 1 – ½! h 2 + ¼! h 4  O(h 6 ) = 1 – ½! h 2 + ¼! h 4 – 1/6! h 6  O(h 8 ) = 1 – ½! h 2 + ¼! h 4 – 1/6! h 6 + ¼! h 8  O(h 10 ) Contoh:

19 19 Perambatan Galat Misalkan dua buah bilangan a 1 dan a 2 dengan nilai hampirannya masing-masing â 1 dan â 2 Maka: a 1 = â 1  e 1  e r1 = e 1 / â 1 a 2 = â 2  e 2  e r2 = e 2 / â 2 Perambatan galat dari a 1 dan a 2 pada: 1.Penjumlahan A = a 1  a 2 = (â 1  e 1 )  (â 2  e 2 ) = (â 1  â 2 )  (e 1 + e 2 ) = (â 1  â 2 )  e A e A = e 1 + e 2, yaitu galat absolut dari penjumlahan (  )

20 20 2. Perkalian B = a 1. a 2 = (â 1  e 1 ).(â 2  e 2 ) = (â 1. â 2 )  (â 1 e 2 + â 2 e 1 + e 1 e 2 ) = (â 1. â 2 )  e B e B = (â 1 e 2 + â 2 e 1 + e 1 e 2 )  e rB = e r1 +e r2 3. Pembagian P= (â 1 / â 2 )  e P  e P =

21 21 Contoh: Hasil pengukuran jari-jari suatu bola adalah: R = (4,50  0,45) m Hitung galat maksimum dari: a. Luas permukaan bola b. Volume bola Jawaban: a. Luas permukaan bola S = 4  R 2 Galat relatif luas permukaan bola: e r (S) = 2 e r ® = 2 (0,45/4,50) = 0,2 S = (254,340  50,868) m 2 Galat mutlak luas permukaan bola: e S = S e r (S) = 4  R 2.2 e r ® = 4 (3,14) (4,50) 2 (0,2) = 50,868

22 22 Volume bola : V = 4/3  R 3 Galat relatif volume bola: e r (V) = 3 e r ® = 3 (0,45/4,50) = 0,3 Galat mutlak volume bola: e V = V.e r (V) = 4/3  R 3 e r (V)= 4/3 (3,14)(4,50) 3 (0,3) = 114,453 V= (381,51  114,453) m 3


Download ppt "1 DERET TAYLOR dan ANALISIS GALAT Pertemuan-2 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006 TIK: Mhs dapat menjelaskansumber-sumber galat dalam metoda."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google