Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Ekonomi1. 2 Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Ekonomi1. 2 Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear."— Transcript presentasi:

1 Matematika Ekonomi1

2 2 Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear

3 3 Dengan denah Venn sbb: ◦◦◦◦◦◦ X Y Hubungan Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsur Y)

4 4 Perhatikan juga contoh berikut: 0 x1x1 x2x2 X Y y1y1 y = f(x) x1x2xnx1x2xn y1yny1yn X Y Gambar di atas, nilai x 1 dan x 2 dalam X, dihubung- kan dengan nilai y 1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y.

5 5 Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x  y simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan- tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain) aturan ditransformasi

6 6 Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (D f ) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (R f = W f ). D f = { x / x ε X } W f = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: D f = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } R f = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ?

7 Matematika Ekonomi7 Macam-macam fungsi a. Fungsi Polinomial x y Konstan, jika n = 0 y = a a Slope = b Bentuk umumnya : y = a + bx + cx px n x y Linear, jika n = 1 y = a + bx c Kuadratik, jika n = 2 Y = c + bx + ax 2 case a < 0

8 Matematika Ekonomi8 x y Titik belok Titik maksimum Fungsi kubik y = d + cx + bx 2 + ax 3 Titik maksimum Titik minimum x y Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx 2 + bx 3 + ax 4

9 9 b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. Hiperbola: y = (a/x), a > 0 x y 0 c. Fungsi eksponensial dan logaritma y x 0 Eksponensial y = b x, b>1 y x 0 Logaritma y = log b x

10 Matematika Ekonomi10 Fungsi linear Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi Fungsi linear merupakan hubungan sebab- akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - investasi dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1.

11 Matematika Ekonomi11 Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx  bentuk umum Contoh: y = 4 + 2x  a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis.

12 Matematika Ekonomi12 x y b b = penggal garis y = ax + b, pada sumbu y yaitu nilai y saat x = 0 0 a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a ∆x ∆y = a a a a a y = ax + b

13 Matematika Ekonomi13 Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. Latihan-1 y = 4 + 2x Penggal garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : xy∆x∆y∆y/∆x = a Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0

14 Matematika Ekonomi14 Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x xy∆x∆y∆y/∆x = a Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0

15 Matematika Ekonomi15 Kurva (grafik) fungsi Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. Misalkan y = 36 – 4x maka a = -4  (∆y/∆x) b = 36 Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y Hubungkan kedua titik penggal tersebut Titik penggal pada sb x,  y =.., x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y,  x =.., y = … atau titik (…, …)

16 Matematika Ekonomi16 Grafik: y x y = 36 – 4x (0,36) (9,0) Grafik dengan lereng negatif

17 Matematika Ekonomi17 Gambarkan grafik fungsi: y = 2 + 4x Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2) Gambarkan : y x 0 Grafik dengan lereng positif y = 2 + 4x

18 18 Fungsi non linear (kuadratik) Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat Fungsi nob linear (kuadratik) adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a 2 ± 0, yaitu y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 atau sering ditulis: y = ax 2 + bx + c

19 19 Contoh - 1: y = 8 – 2x – x 2 a = -1 (a < 0) b = -2 c = 8  Contoh - 2: y = 2x 2 + 4x + 2 a = 2  a > 0) b = 4 c = 2 Menggambar kurva non linear kuadratik a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2x – x 2 atau 8 – 2x – x 2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas- ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil

20 Matematika Ekonomi20 Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 - x)(4 + x)  f(x) = g(x).h(x) (2 - x)(4 + x) = 0 (2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b ± √ b 2 – 4ac x = a - (-2) ± √ (-2) 2 – 4(-1)(8) x = (-1)

21 Matematika Ekonomi21 2 ± √ ± 6 x = = x 1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0) x 2 = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi. b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2x – x 2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8) c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari.

22 Matematika Ekonomi22 Mencari titik maks atau min Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b 2 – 4ac x = ----, dan y = a -4a c. Kurvanya simetri pada titik x maks/min y = 8 – 2x – x 2, a < 0  berarti maks x maks = -(-2)/(2)(-1) = -1 y maks = [(-2) 2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.  titik maks (-1, 9).

23 Matematika Ekonomi23 Gambarkan kurvanya: 0x y

24 Matematika Ekonomi24 Latihan: Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2x 2 + 4x + 2

25 Matematika Ekonomi25 Lanjutan:

26 Matematika Ekonomi26 Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = a 2 x + b 2 Berimpit: Jika dan hanya jika a 1 = a 2 b 1 = b 2 b. Sejajar y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = a 2 x + b 2 Sejajar: Jika dan hanya jika a 1 = a 2 b 1 ± b 2

27 Matematika Ekonomi27 c. Berpotongan y 2 = a 2 x + b 2 y 1 = a 1 x + b 1 Berpotongan: jika dan hanya jika a 1 ± a 2 b 1 ± b 2 Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan. y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = ax 2 + bx + c y x y x a<0 a>0 Ttk pot Ttk pot

28 Matematika Ekonomi28 Mencari titik potong dua garis/persamaan Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3 x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3  y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10

29 Matematika Ekonomi29 Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)

30 Matematika Ekonomi30 Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4y = 23  4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4)

31 Matematika Ekonomi31 Latihan


Download ppt "Matematika Ekonomi1. 2 Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google