DETERMINAN DEFINISI DAN SIFAT Definisi Permutasi Misalkan S = {1, 2, …, n} adlh himp.bil. bulat dari 1 sampai n, dgn urutan naik. Urutan kembali elemen – elemen S, j1,j2,…,jn, disebut Permutasi dari S. Notasi : Sn adalah himp.semua permutasi dari S

Ilustrasi Misal S = {1, 2, 3, 4}, maka 4231 adalah permutasi dari S. Ini merupakan fungsi f : S  S dengan f(1) = 4 f(2) = 2 f (3) = 3 f(4) = 1 Jika S terdiri dari n elemen, maka akan ada n! permutasi dari S.

Contoh S1 hanya mempunyai 1! permutasi dari himp.{1}, yaitu 1. S2 mempunyai 2! permutasi dari himp. {1, 2}, yaitu 12 dan 21. S3 mempunyai 3! permutasi dari himp. {1, 2, 3}, yaitu 123, 132, 213, 231, 312, 321. dan seterusnya.

Istilah Permutasi j1j2…jn dari himp. S = {1, 2, …, n} dikatakan punya inversi jika bilangan yg lebih besar terletak sebelum bilangan yg lebih kecil. Permutasi genap / ganjil : jika total jumlah inversi adalah genap / ganjil. Contoh : 4132  permutasi genap 2341  permutasi ganjil

Definisi Determinan Misal A = [aij] berukuran n x n. Determinan dari A, ditulis det(A) atau , didefinisikan sebagai : det(A) = dengan j1j2…jn adalah semua permutasi dari S = {1, 2, …, n}. Tanda + atau – bergantung pada jenis permutasi genap atau ganjil.

Contoh A = [a11]  S1 hanya mempunyai 1 permutasi, yaitu 1, dan mrp permutasi genap. Jadi det(A) = a11  untuk memperoleh det(A), maka tulis dahulu : a1-a2- dan a1-a2-

Selanjutnya… Isilah - dengan semua permutasi dari S2 : 12 dan 21. Krn 12 permutasi genap maka a11a22 bertanda +, dan krn 21 permutasi ganjil maka a12a21 bertanda -. Jadi determinan dari A : det(A) = a11a22 – a12a21

- + Dapat disimpulkan : Jika maka det(A) = a11a22 – a12a21 Contoh :

SIFAT - SIFAT DETERMINAN det(At) = det(A) Contoh : det(A) = 7 det(At) = 7 Sifat 2 Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka det(B) = - det(A)

Diberikan matriks maka det(A) = 6. Jika , maka det(B) = -det(A) = -6. Contoh Diberikan matriks maka det(A) = 6. Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.

Sifat 3 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(B) = k.det(A) Contoh: Diberikan matriks dgn det(A) = 12 Jika  det(B) = 2.det(A) = 2.6 = 12

Sifat 4 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka det(B) = det(A) Contoh : Diberikan matriks , det(A) = 12. Jika , maka det(B) = det(A) = 12

Sifat 5 Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol. Contoh Matriks mpy determinan nol. Sifat 6 Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.

Sifat 7 Jika matriks A=[aij], 1 i  n, 1  j  n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka det(A) = a11.a22. … .ann Contoh : Diberikan matriks maka det(A) = 1.(-2).2 = -4

Sifat 8 Sifat 9 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka det(AB) = det(A).det(B) Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka det(A-1) =

Latihan Soal 1. Hitunglah determinan dari matriks berikut : a. b. 2. Buktikan bahwa det(k.A) = kndet(A), dengan k bil. real dan A matriks ukuran n x n. k=2 (utk matriks no 1a) 3. Buktikan : det(AtBt) = det(A).det(Bt) = det(At).det(B)