P. VIII 1 d DETERMINAN Fungsi Determinan a b c d Ingat teorema bahwa jika A =  dapat dibalik, jika ad – bc 0, dimana 1 d ad bc c  b a A1 Ekspresi ad – bc, diberi nama “determinan” A, 2x2 dan biasanya dinyatakan dengan 1 d   b a simbol det (A). Dengan demikian A1 det(A) c Salah satu sasaran dalam bab ini adalah memperoleh analogi dari rumus-rumus ini untuk matriks-matriks berorde lebih tinggi. Hal ini akan menuntut kita memperluas konsep suatu determinan ke matriks-matriks berorde lebih tinggi. Untuk tujuan ini akan memerlukan beberapa hasil awal tentang permutasi. Permutasi Suatu permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, …, n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan. Contoh: Himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} memiliki permutasi sebagai berikut. (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2) (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 2, 1) atau metode yang lebih mudah digunakan adalah dengan menggunakan metode “pohon permutasi”. Himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4} memiliki permutasi sebagai berikut. (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2) (2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1) (3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1) (4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 1, 3), (4, 2, 3, 1), (4, 3, 1, 2), (4, 3, 2, 1) Suatu pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1, j2, …, jn) bilamana suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Total jumlah pembalikan yang terjadi dalam suatu permutasi adalah sebagai berikut. http://www.mercubuana.ac.id

a) A11 a22 A12 a21 (1, 2) (2, 1) Genap Ganjil a11 a22 - a12 a21 b) A11 a22 a33 A11 a23 a32 A12 a21 a33 A12 a23 a31 A13 a21 a32 A13 a22 a31 (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) ganjil a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 - a13 a22 a31 Dengan demikian fungsi determinan dinyatakan dengan determinan dan didefinisikan det (A) adalah penjumlahan semua hasil kali dasar bertanda dari A. Menghitung Determinan 2x2 dan 3x3 a a 21 a 12 a 22 a) det 11 = a11 a22 – a12 a21 a 11 a 12 a 13 b) deta 21 a 22 a 23 = a11 a22 a33 + a12a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a 33 a32 atau dengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic) a a 3231 a 11  a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 11  a 23 a 21 a 33 a 31 a 12 a 22 a 32 a 11 a 21 a 12 a 22 contoh: 3 1 A det (A) 3(2) (1)(4) 6 4 10 4  2 Menghitung Determinan Dengan Penghilangan Baris Sebuah Teorema Dasar Anggap A adalah suatu matriks bujur sangkar. a) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det (A) = 0 b) Det (A) = det (AT) Bukti. http://www.mercubuana.ac.id

det (B) det (A) 0001 a 11 ka 21   a 21  a 31 a 12 ka 22  a 23 a 21 a 33a31 a 12 a 22 a 32 a 13  a 23 a 33  det (B) det (A) Determinan Matriks-Matriks Dasar Teorema 3 a) Jika E dihasilkan dari mengalikan suatu baris dari In dengan k, maka det (E) =k b) Jika E dihasilkan dari mempertukarkan dua baris dari In, maka det (E) = -1 c) Jika E dihasilkan dari menambahkan suatu penggandaan satu baris I n ke baris lainnya, maka det (E) = I 1000 0300 0010 0001  3 baris ke 2 dari I n x 3 0001 0100 0010 1000 1007  1 baris ke 1 dan terakhir I 4 dipertukarkan  1 7 xbaris terakhir dari I 4 baris ke 1 0001 Determinan dengan Baris atau Kolom Proporsional Teorema 4 Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dengan 2 baris atau 2 kolom proporsional, maka det (A) = 0. 1 3 2 4 1 3 2 4 2 3 1 6 4 8 9 1 1 4 00 39 11 1 4 5 8   0 5 8 Baris ke-2 adalah 2 kali baris ke-1, jadi kita tambahkan –2 kali baris ke-1 ke baris ke- 2 untuk mendapatkan suatu baris nol. http://www.mercubuana.ac.id