Matematika Ekonomi KALKULUS INTEGRAL Toni Bakhtiar 2012

Kalkulus Turunan dan Kalkulus Integral Kalkulus dasar terdiri atas dua bagian besar, yaitu kalkulus turunan dan kalkulus integral, yang keduanya memiliki hubungan yang erat. Seperti diketahui, perhatian utama kalkulus diferensial adalah menemukan turunan-turunan atau diferensial dari fungsi dalam peubah bebas x yang diberikan. Namun dalam kalkulus integral, hal sebaliknya yang menjadi tujuan, yaitu menemukan fungsi-fungsi primitif jika fungsi turunannya diberikan.

Turunan Lengkapilah: f(x) f ’(x)

Antiturunan Lengkapilah: f(x) f ’(x)

Antiturunan Masalah integral umumnya lebih sulit daripada masalah turunan karena dalam kenyataanya tidak semua fungsi memiliki fungsi primitif yang sederhana.

Dinamika dan Pengintegralan Konsep integral banyak muncul dalam masalah ekonomi, seperti misalnya hubungan antara fungsi marjinal dan fungsi total. Fungsi biaya bergantung pada tingkat produksi Q dan mengalami perubahan dengan laju dC/dQ = 2Q. Dapat dikatakan bahwa perusahaan tersebut memiliki fungsi biaya marjinal C ’(Q) = 2Q. Fungsi biaya total: C(Q) = Q2 + k. Jika fix-cost Cf = 25, maka k = 25.

Dinamika dan Pengintegralan Kecenderungan menabung marjinal (marginal propensity to save) atau MPS yang merupakan fungsi dari besarnya pendapatan (income) Y, yaitu MPS merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan S. Laju perubahan modal pada saat t identik dengan banyaknya investasi bersih yang terjadi pada saat t yang dilambangkan dengan I(t), yaitu K’(t) = I(t). Hukum Malthus: laju pertumbuhan populasi sebanding dengan banyaknya populasi pada saat itu.

Dinamika dan Pengintegralan Hukum Malthus: Dari tabel: P(0) = 5.3, P(30) = 13  k  0.03. Dengan demikian: Diperoleh: P(60) = 32, P(90) = 79, P(120) = 194, P(150) = 477, P(180) = 1173. Kenapa terjadi penyimpangan yang besar?

Integral Taktentu Misalkan hubungan berikut terpenuhi: Fungsi primitif F(x) disebut sebagai integral taktentu (indefinite integral) dari fungsi f(x) atau F(x) disebut sebagai antiturunan (antiderivative) dari f(x) dan dilambangkan sebagai Secara umum:

Aturan Pengintegralan Aturan pangkat: (untuk n  1) Aturan logaritma: Aturan eksponensial:

Aturan Pengintegralan Aturan trigonometri:

Sifat Pengintegralan

Aturan Substitusi Perhatikan masalah pengintegralan berikut: Jika n kecil, katakanlah n = 2 maka integral di atas dengan mudah dapat diselesaikan dengan Aturan Pangkat, yaitu Bagaimana untuk n besar, misalnya n = 100? Aturan apa yang dapat digunakan untuk:

Aturan Substitusi Untuk n = 100: Jika u = g(x) adalah fungsi yang terturunkan dan f fungsi kontinu maka

Aturan Substitusi Tentukan:

Integral Parsial

Integral Parsial Tentukan:

Luas Daerah di Bawah Kurva

Luas Daerah di Bawah Kurva Luas n persegi panjang: Luas daerah di bawah kurva:

Integral Tentu Jika f fungsi yang kontinu pada selang [a,b] dan F’(x) = f(x) maka Contoh:

Sifat Integral Tentu

Sifat Integral Tentu

Sifat Integral Tentu

Sifat Integral Tentu

Integral Takwajar Bentuk integral takwajar (improper integral): Penyelesaian:

Integral Takwajar Jika limit-limit di ruas kanan ada dan bernilai terhingga, dikatakan bahwa integral takwajar konvergen, dan jika nilainya takhingga dikatakan divergen.

Integral Takwajar

Integral Takwajar

Integral Takwajar Benarkah?

Integral Takwajar (Integran Takhingga)

Terapan Integral Fungsi Total – Fungsi Marjinal Investment and capital formation: Present value: Misalkan sejumlah pembayaran harus dilakukan secara kontinu pada periode [0,T] sebesar f(t) dolar pada saat t, maka

Terapan Integral Nilai rata-rata fungsi: Jika f fungsi yang terdefinisi pada selang [a,b] maka nilai rata-rata fungsi f pada selang tersebut diberikan oleh