Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel

Definisi Nilai Ekstrim Jika f(x,y) ≤ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai maksimum lokal. Jika f(x,y) ≥ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai minimum lokal. Jika definisi di atas berlaku untuk semua (x,y) dalam Df maka f mempunyai maksimum mutlak (minimum mutlak) di (a,b).

Definisi Titik Kritis Titik (a,b) disebut titik kritis, bila: fx(a,b) = 0 atau fx(a,b) tidak ada fy(a,b) = 0 atau fy(a,b) tidak ada Teorema (Uji Turunan Pertama) : Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di (a,b) dan turunan parsial orde satu di (a,b) ada, maka fx(a,b) dan fy(a,b) = 0.

Teorema (Uji Turunan Kedua) Misal turunan parsial kedua dari f kontinu pada cakram dengan pusat (a,b) dan misalkan fx(a,b) dan fy(a,b) = 0. D = D(a,b) = fxx(a,b) fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2 Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) minimum lokal. Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) maksimum Jika D < 0 maka f(a,b) bukan maksimum dan minimum lokal.

Catatan Pada saat D < 0 maka f(a,b), titik (a,b) disebut titik pelana f. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan. Dimana,

Contoh Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi

Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi Tentukan ukuran dari suatu kotak persegi panjang tanpa tutup yang mempunyai volume 32 dm3, sehingga dapat meminimumkan banyaknya material yang digunakan untuk membuat kotak tersebut.

Nilai Maksimum dan Minimum Mutlak (Selang Tertutup) Teorema (Nilai Ekstrim Fungsi DuaVariabel) Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas, D  R2, maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(x1,y1) di (x1,y1)  D dan mencapai nilai minimum mutlak f(x2,y2) di (x2,y2) D.

Himpunan tertutup dan tidak tertutup Catatan : Himpunan terbatas dalam R2 adalah himpunan yang memiliki jangkauan berhingga. Himpunan tertutup dan tidak tertutup Tertutup Tidak tertutup -5 ≤ x ≤ 3 1 ≤ y ≤ 6 -5 < x < 3 1 < y < 6 Langkah-langkah mencari maksimum dan minimum mutlak fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas : 1. Tentukan titik kritis dalam D. 2. Tentukan nilai ekstrim f pada perbatasan D. 3. f(x0,y0) terbesar  maksimum mutlak. f(x0,y0) terkecil  minimum mutlak.

Contoh 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak pada D f(x,y) = x2 + y2 + x2y + 4 , D = {(x,y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

Definisi nilai ekstrim relatif di atas dapat diperluas untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Jika f fungsi tiga variabel, maka f mempunyai nilai maksimum relatif di titik (x0,y0,z0), jika f(x0,y0,z0) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x0,y0,z0) f mempunyai nilai minimum relatif di titik (x0,y0,z0), jika f(x0,y0,z0) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x0,y0,z0). Jika f mempunyai nilai ekstrim relatif pada titik (x0,y0,z0) dan turunan parsial pertama dari f ada pada titik (x0,y0,z0), maka