P. IX 2 3 2.2 3.2 a 11 a 11 a 12 a 11 a 12 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN Sifat-sifat Dasar Determinan # Det (kA) = kn det (A), k adalah sebarang skalar n adalah jumlah barissuatu matriks bujur sangkar ka 11 ka 12 ka 13 a 11 a 12 a 13 ka 21 ka 22 ka 23 k a 21 3 a 22 a 23 ka 31 ka 32 ka 33 a 31 a 32 a 33 Contoh: 2 3 A k 5 4 5 detkA 2.2 3.2 2.4 2.5 4 6 8 10  k n detA 2 2  4 23 45 23 45   48 40  8  4 12 10  8 # det (A + B) biasanya det (A) + det (B) contoh: 1 23 14 3 A A B  det(B) 8 det(A B) 23 detA B detA detB # Jika 2 matriks 2x2 yang berbeda hanya pada baris keduanya, a 11 A a 12 a 22 a 11 B a 12 b 22 a 21 b 21 det (A) + det (B) = (a11 a22 – a12 a21) + (a11 b22 – a12 b21) = a11 (a22 +b22) – a12 (a21 + b21)  a 11 a 21 b 21 a 12 a 22 b 22 = det Jadi: a 11 det a 12 a 11 a 12 b 22  a 11 a 21 b 21 a 12 a 22 b 22  det  det a 21 a 22 b 21 Contoh: 1 2 1 2 1 2 det  det  det 5 6  1 (5) 6 10  4 4 http://www.mercubuana.ac.id

2 3 10 0 12 ; 2 5 Contoh: x1 + 3x2 =x1 4x1 + 2x2 =x2 1 3x 1x 1  x2 x 4 2  2    Ax  x x 11 3x 1     0 x 24 2x 2 atau 1 0x 11 3x 1   0 1x 24 2x 2     0  1   3x 1  2x 2  0  4  1  I A  3  2  4 Nilai disebut suatu nilai karakteristik atau suatu “nilai eigen” jika adalah suatu nilai eigen dari A, maka penyelesaian tak trivialnya disebut sebagai “vektor eigen” dari A yang berpadanan dengan. Sistem (I – A) x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika: det (I – A) = 0. Contoh: Cari nilai eigen dari vektor-vektor eigen yang berpadanan dari matriks A di atas.  1 det (I A)  3  2  0  4 2 3 10 0 12 ; 2 5 sehingga nilai eigen dari A adalah = -2, = 5 x 1 x 2 penyelesaian tak trivial dari (I – A) x = 0  1  4  3x 10  2x20   3  2 ;  3x 10  4x20    4 x 1 t  4  5 ;  3x 1 3x 2 0  sehingga , x 2 t  4 0 PERLUASAN KOFAKTOR; ATURAN CRAMER http://www.mercubuana.ac.id

 3(4) (2)(2) 5(3)1  3 1  A 2 4 5 4 0  3  2  4 4 3  2 1 0 4 2 1  43 det (A) 3  (2)  5  3(4) (2)(2) 5(3)1 Determinan suatu matriks A, nxn bisa dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan, yaitu untuk setiap 1 i n, dan 1 j n, Det (A) = aij Cij + a2j C2j + … + anj Cnj (perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j) det (A) = ai1 Ci1 + a2i C2i + … + ani Cin (perluasan kofaktor disepanjang baris ke-I) Contoh: Hitung det (A)pada matriks di atas dengan perluasan kofaktor di sepanjang baris pertama. 3 1 det (A) 2 4 5 4 3 3  2  4 4 3  2  2 5 3  2  2 4 5 4  (1)  0  3( 4) (1)(11) 0 12 11 1 Adjoin Suatu Matriks Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka C 11 matriksC 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13  C 23 disebut matriks kofaktor dari A. C 33 Transpos dari matriks ini disebut Adjoin A atau Adj (A). Contoh: 3 2 6 2 4  1  3 0  A1 C11 = 12 C21 = 4 C31 = 12 C12 = 6 C22 = 2 C32 = -10 C13 = -16 C23 = 16 C33 = 16 12 6 Sehingga matriks kofaktornya: 4 2 12 10  16  12 4 2 12   10 16  http://www.mercubuana.ac.id   16 adj (A) 6 16  16 16