VEKTOR JAWAB Xo Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Matematika II - 26 Vektor Jawab

Xo khas tidak khas/umum Matriks Mb Mb Mbxl Mu M-1 Xo Xo b = l b = l Hanya 1 jawaban Lebih dari 1 jawaban

Vektor Jawab Khas Persamaan linier xo = 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Vektor Jawab Khas Persamaan linier 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2 1 2 x1 = x2 x3 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 xo = x1 = … x2 = … x3 = … y M Matematika II - 26 Vektor Jawab

Vektor Jawab Khas Matriks Kebalikan Transformasi Linier Metoda Cramer Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Vektor Jawab Khas Matriks Kebalikan Matriks Ajugat Cara Penyapuan Transformasi Linier Metoda Cramer Metoda Doolittle Matematika II - 26 Vektor Jawab

Matriks Kebalikan  XO = M XO = y  Cara pengolahan : Ubah susunan persamaan linier menjadi : m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 y11 y21 y31 XO = M XO = y 3 x 3 3 x 1  Tentukan matriks kebalikan M a. Matriks Ajugat M M-1 b. Cara Penyapuan

 Md = ( mij)d Kd = (nij)d Kd’ = (nji)d a. Matriks Ajugat Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat a. Matriks Ajugat Md = ( mij)d Tentukan determinan matriks Md ( DM ) m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 DM = *Algoritma (silang) *Minor & kofaktor *Cara penyapuan Tentukan matriks Kd dari matriks Md (unsur-unsur matriks Kd dihitung dengan cara kofaktor); putar Kd = (nij)d Kd’ = (nji)d  Matematika II - 26 Vektor Jawab

XO = M-1 y Tentukan kebalikan matriks Md ( M-1 ) 1 1 |M| M-1 = K’ DM Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Tentukan kebalikan matriks Md ( M-1 ) 1 DM M-1 = K’ 1 | M | = K’ DM = |M| Hitung vektor jawabnya XO = M-1 y Matematika II - 26 Vektor Jawab

CL VJ01A SL VJ01A 1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 JCL VJ01A-1 : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4

XO = Penyelesaian (matriks ajugat) :  Susun ulang menjadi : y M 2 1 2 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Penyelesaian (matriks ajugat) :  Susun ulang menjadi : y M 2 1 2 1 3 4 2 2 3 XO = 2 3 4 (3 x 3) (3 x 1) (3 x 1)  Menentukan determinannya : 2 1 2 1 3 4 2 2 3 Det = -1 (berarti M matriks tak singular; berpangkat penuh) Matematika II - 26 Vektor Jawab

 K  Menentukan matriks kanoniknya : a11 = 1 a12 = 5 a13 = -4 2 1 2 1 3 4 2 2 3  Putar matriks kanoniknya :  1 5 -4 2 -2 -2 -6 5 K = 1 1 -2 5 2 -6 -4 -2 5 K’ =

XO = (1/-1) K’. y  Menghitung vektor jawabnya : = M-1 . y = (1/-1) = (1/-1) 1 1 -2 5 2 -6 -4 -2 5 2 3 4 = 3 8 -6

Gandengkan matriks M dengan matriks identitas (transformasi dasar) b. Cara Penyapuan [penyapuan baris] Gandengkan matriks M dengan matriks identitas m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 ( M I ) = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Olah matriks M menjadi matriks I; Olah matriks I menjadi matriks M-1 Langkah  : Olah matriks M menjadi *matriks bawah (dlm proses pengolahan usaha- kan nilai unsur-unsur m12, m13, m23 bernilai 0) atau *matriks atas (dlm proses pengolahan usahakan nilai unsur-unsur m21,m31, m32 bernilai 0)

XO = M-1 y Langkah  : Olah nilai unsur-unsur Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Langkah  : Olah nilai unsur-unsur *matriks bawah (m21,m31, m32) bernilai 0 atau *matriks atas (m12,m13, m23) bernilai 0 Hasil pengolahan kedua langkah ini diperoleh : matriks M menjadi matriks Identitas matriks Identitas menjadi matriks M-1  Hitung vektor jawabnya XO = M-1 y Matematika II - 26 Vektor Jawab

CL VJ01B SL VJ01B 1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4 JCL VJ01B-1 : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4

XO = Penyelesaian (cara penyapuan; transformasi linier) : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Penyelesaian (cara penyapuan; transformasi linier) :  Susun ulang menjadi : XO = 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 4 (3 x 3) M y (3 x 1) Matematika II - 26 Vektor Jawab

 Menentukan matriks kebalikan M : 2 1 2 1 0 0 1 3 4 0 1 0 2 4 6 0 0 1 E3.2(-1) E1.3(-1) E2.3(-2) 1 0 0 1 1 -1 -1 1 0 0 3 -2 1 1 2 0 -1 1 M I E2.1(1) E3.1(-1) E3.2(-1) E3(1/2) 1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 0 1 -1 -3 5/2 I M-1  Menghitung vektor jawabnya : XO = M-1 = = 2 3 1 1 -1 2 4 -3 -1 -3 5/2 2 3 3 8 -6

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Transformasi linier Pengolahan baris matriks transformasi dasar (penyapuan baris) terhadap matriks gandengan (M,y) Cara pengolahan :  Ubah susunan persamaan linier menjadi : M XO = y 3 x 3 3 x 1 XO = m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 y11 y21 y31 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Gandengkan matriks M dengan vektor y. m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 y11 y21 y31 Lakukan pengolahan baris matriks M dengan arahan menjadi matriks bawah atau matriks atas. Tentukan pangkat : matriks gandengan dan matriks M p(M,y) dan p(M) Telaah lebih dulu apakah p(M,y) = p(M). Bila p(M,y) ≠ p(M), berarti Xo tidak khas.

Susun matriks gandengan “hasil olahan” menjadi persamaan linier. Xo diperoleh dari hasil olahan substitusi.

CL VJ02 SL VJ02 1. Tentukan vektor jawabnya (transformasi linier) dari persamaan linier sbb : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 JCL VJ02-1 : Persamaan linier : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4

XO = Penyelesaian : (transformasi linier)  Susun ulang menjadi : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Penyelesaian : (transformasi linier)  Susun ulang menjadi : XO = 2 1 2 1 3 4 2 2 3 2 3 4 (3 x 3) M y (3 x 1)  Pengolahan baris terhadap matriks gandengannya 2 1 2 1 3 4 2 2 3 2 3 4 2 1 2 1 3 4 0 1 1 2 3 E3.1(-1) E2.3(-3) Matematika II - 26 Vektor Jawab

“persamaan linier di atas bersifat setara” 2 1 2 1 0 1 0 1 1 2 -3 0 1 0 1 0 1 0 1 1 8 -3 2 E1.2(-2) E3.1(-1) 0 1 0 1 0 1 0 0 1 8 -3 -6 1 0 1 0 1 0 0 0 1 -3 8 -6 E1.2(1) E1.2 1 1 1 0 1 0 0 0 1 5 8 -6 1 1 1 0 1 1 0 0 1 5 2 -6 E2.3(1) p(M,y) = p(M) = 3 “persamaan linier di atas bersifat setara”

 Susun persamaan linier hasil olahan dan tentukan Xonya x1 + x2 + x3 = 5 x2 + x3 = 2 x3 = -6 substitusi X0 = 3 8 -6

Metoda Cramer Xo = (mji)k.yk 1 |M| (mji)n.yn = m11 m12 ………… mk1 Y1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Metoda Cramer 1 |M| Xo = (mji)k.yk (mji)n.yn = m11 m12 ………… mk1 m12 m22 ………… mk2 . . . m1k m2k ………… mkk Y1 y2 . yk = (m1j.y1 + m2j.y2 + …… + mkj.yk) Matematika II - 26 Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat XOj = (m1jy1 + m2jy2 + …. + mkjyk) 1 |M| atau 1 |M| = mi1yi mi2yi . mikyi 1 |M| = Tiap pengolahan disisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks untuk m11 m12 …… m1.j-1 y1 m1.j+1 …… m1k m21 m22 …… m2.j-1 y2 m2.j+1 …… m2k . . . . . . mk1 mk2 …… mk.j-1 yk mk.j+1 …… mkk Matematika II - 26 Vektor Jawab

 Ubah susunan persamaan linier menjadi : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Cara pengolahan :  Ubah susunan persamaan linier menjadi : M XO = y 3 x 3 3 x 1 XO = m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 y11 y21 y31  Sisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks : 1 y11 m12 m13 y21 m22 m23 y31 m32 m33 = 2 m11 y12 m13 m21 y22 m23 m31 y32 m33 = Matematika II - 26 Vektor Jawab

 Tentukan determinan matriks M dan ketiga Segitiga-Matriks : m11 m12 y13 m21 m22 y23 m31 m32 y33 3 =  Tentukan determinan matriks M dan ketiga Segitiga-Matriks : a. algoritma M b. minor-kofaktor M c. cara penyapuan b. minor-kofaktor c. cara penyapuan j a. algoritma

 Tentukan vektor jawabnya : 1 |M| = X0j X0 = X01 X02 X03

CL VJ03 SL VJ03 1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier sbb : (determinan dihitung dengan cara algoritma) 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 2. Bila determinan matriks dihitung dengan cara minor-kofaktor, tentukan vektor jawabnya. 3. Bila determinan matriks dihitung dengan penyapuan, tentukan vektor jawabnya.

JCL VJ03-1 : Hitung determinan cara algoritma

XO = Cara minor-kofaktor 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 Det = 2 2 1 2 3 3 4 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Cara minor-kofaktor JCL VJ03-2 : XO = 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 Det = 2 2 1 2 3 3 4 2 4 6 2 2 2 1 3 4 2 2 6 2 1 2 1 3 3 2 4 2 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 2 1 2 3 3 4 2 4 6 = (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 2 3 4 4 6 3 4 2 6 3 3 2 4 = +2 (2) -1(10) +2(6) = +6 2 2 2 1 3 4 2 2 6 = (-1)1+1 2 (-1)1+2 2 (-1)1+3 2 3 4 2 6 1 4 2 6 1 3 2 2 = +2 (10) -2(-2) +2(-4) = +16 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 2 1 2 1 3 3 2 4 2 = (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 2 3 3 4 2 1 3 2 2 2 4 = +2 (-6) -1(-4) +2(-2) = -12 X0 = 3 8 -6 X01 = ½ (6) = 3 X02 = ½ (16) = 8 X03 = ½ (-12) = -6 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL VJ03-3 : Cara penyapuan 2 1 2 3 3 4 2 4 6 3 0 0 5 1 0 -1 1 2 E3.2(-1) = 6 E1.3(-1) E2.3(-2) 2 2 2 1 3 4 2 2 6 2 2 2 0 2 3 0 0 4 = 16 E2.1(-1/2) E3.1(-1) Matematika II - 26 Vektor Jawab

E2.1(-1)E3.1(-1) E1.3(-1/3)E2.3(-2/3) 2 1 2 -1 0 1 = -12 1 3 3 0 3 0 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat E2.1(-1)E3.1(-1) E1.3(-1/3)E2.3(-2/3) E1.2(2)E2.3E1.3 2 1 2 1 3 3 2 4 2 -1 0 1 0 3 0 0 0 4 = -12 X01 = ½ (6) = 3 X0 = 3 8 -6 X02 = ½ (16) = 8 X03 = ½ (-12) = -6 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Persyaratan matriks yang dapat diolah dengan metoda Doolittle Matriks Setangkup segi bernilai sama tidak samadengan nol khas penuh Matriks Unsur2 yang bersebarangan Determinan Kebalikan Pangkat Vektor jawab

CL VJ04 SL VJ04 1. Tentukan vektor jawabnya dengan metoda Doolittle dari persamaan linier berikut. 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2

Pengolahan metoda Doolittle Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL VJ04-1 : Pengolahan metoda Doolittle Pengolahan baris M L1 L2 L3 B1 B2 B3 1 2 1 3 4 2 4 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 I K1 K2 K3 8 12 15 LP Brs R1 r1 R2 r2 R3 r3 y R1/2 1 ½ 1 1 ½ 0 0 8/2 B2 – ½ R1 R2/(5/2) 5/2 3 1 6/5 4/5 -½ 1 0 -1/5 2/5 0 16/5 B3 – 6/5 R2 – 1 R1 R3/(2/5) 2/5 -12/5 6 -2/5 -6/5 1 -1 -3 5/2 -13/5 -3/2 T1’ t1’ T2’ t2’ T3’ t3’ Matematika II - 26 Vektor Jawab

Langkah2 pengolahan : 1. Unsur2 pada baris R1 = unsur2 pada baris B1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Langkah2 pengolahan : 1. Unsur2 pada baris R1 = unsur2 pada baris B1 2. Unsur pada baris R1 dan lajur L1 bernilai 2; nilai ini harus bernilai 1 pada baris r1 dan lajur L1. Berarti nilai2 tersebut dibagi 2 atau dikali dengan ½. Berarti pula untuk semua unsur pada baris R1 dibagi 2 dan hasilnya diletakkan pada baris r1 r1 = R1/2 Matematika II - 26 Vektor Jawab

3. Unsur pada baris R2 dan lajur L1 haris bermilai nol; berarti : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 3. Unsur pada baris R2 dan lajur L1 haris bermilai nol; berarti : R2 = B2 - ½ R1 Matriks M : R2 & L2 = 3 – (1/2)(1) = 5/2 L3 = 4 - (1/2)(2) = 3 Lajur y = 3 - (1/2)(2) = 2 Matriks I : R2 & K1 = 0 – (1/2)(1) = - 1/2 K2 = 1 - (1/2)(0) = 1 K3 = 0 - (1/2)(0) = 0 Matematika II - 26 Vektor Jawab

5. Unsur pada baris R3 dan lajur L2 harus bernilai nol Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat 4. Unsur2 pada baris R2 dan lajur L2 bernilai 5/2 ; nilai ini harus bernilai 1 pada baris r2 dan lajur L2. Berarti dikali-kan dengan 2/5 dan demikian pula untuk semua unsur pada baris R2. Hasilnya merupakan unsur-unsur pada baris r2. r2 = R2 / (5/2) 5. Unsur pada baris R3 dan lajur L2 harus bernilai nol R3 = B3 - (6/5) R2 - 1 R1 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Matriks M : R3 & L3 = 6 – (6/5)(3) – (1)(2) = 2/5 Lajur y = 2 – (6/5)(2) – (1)(2) = -12/5 Matriks I : R3 & K1 = 0 – (6/5)(-1/2) – (1)(1) = -2/5 K2 = 0 – (6/5)(1) – (1)(0) = -6/5 K3 = 1 – (6/5)(0) – (1)(0) = 1 6. Unsur pada baris R3 dan lajur L3 bernilai 2/5 dan harus bernilai 1 pada baris r3 dan L3. Selanjutnya semua unsur pada r3 harus di kalikan dengan 5/2. r3 = R3 / (2/5) Matematika II - 26 Vektor Jawab

Dari hasil pengolahan diperoleh : Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Dari hasil pengolahan diperoleh : 1. unsur2 pada R1, R2 & R3 menyusun R & T’ R = 2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5 T’ = 1 0 0 -1/2 1 0 -2/5 -6/5 1 2. unsur2 pada r1, r2 & r3 menyusun r & t’ r = 1 1/2 1 0 1 6/5 0 0 1 t ’ = 1/2 0 0 -1/5 2/5 0 -1 -3 5/2 Matematika II - 26 Vektor Jawab

M-1 diperoleh tT’ atau Tt’ Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Penyelesaian : X0 = M-1 y CARA PERTAMA M-1 diperoleh tT’ atau Tt’ # bila dipilih M-1 = tT’ d11 d12 d13 d21 d22 d23 d31 d32 d33 1/2 -1/5 -1 0 2/5 -3 0 0 5/2 1 0 0 -1/2 1 0 -2/5 -6/5 1 = Matematika II - 26 Vektor Jawab

Lajur 1 : d11 = (1/2)(1) + (-1/5)(- 1/2) + (-1)(-2/5) = 1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Lajur 1 : d11 = (1/2)(1) + (-1/5)(- 1/2) + (-1)(-2/5) = 1 d21 = 0 + (2/5) (- 1/2) + (-3)(-2/5) = 1 d31 = 0 + 0 + (5/2)(-2/5) = -1 Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/5)(1) + (-1)(-6/5) = 1 d22 = 0 + (2/5) (1) + (-3)(-6/5) = 4 d32 = 0 + 0 + (5/2)(-6/5) = -3 Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-1)(1) = -1 d23 = 0 + 0 + (-3)(1) = -3 d33 = 0 + 0 + (5/2)(1) = 5/2 Matematika II - 26 Vektor Jawab

# bila dipilih M-1 = Tt’ 1 -1/2 -2/5 0 1 -6/5 0 0 1 1/2 0 0 -1/5 2/5 0 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat # bila dipilih M-1 = Tt’ 1 -1/2 -2/5 0 1 -6/5 0 0 1 1/2 0 0 -1/5 2/5 0 -1 -3 5/2 = d11 d12 d13 d21 d22 d23 d31 d32 d33 Lajur 1 : d11 = (1)(1/2) + (- 1/2)(-1/5) + (-2/5)(-1) = 1 d21 = 0 + (1)(- 1/5) + (-6/5)(-1) = 1 d31 = 0 + 0 + (1)(-1) = -1 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/2)(2/5) + (-2/5)(-3) = 1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/2)(2/5) + (-2/5)(-3) = 1 d22 = 0 + (1)(2/5) + (-6/5)(-3) = 4 d32 = 0 + 0 + (1)(-3) = -3 Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-2/5)(5/2) = -1 d23 = 0 + 0 + (-6/5)(5/2) = -3 d33 = 0 + 0 + (1)(5/2) = 5/2 M-1 = 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Cara penyelesaian seperti Persamaan Biasa Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat X0 = M-1y = = 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2 2 3 3 8 -6 CARA KEDUA Cara penyelesaian seperti Persamaan Biasa r X0 = yr atau R X0 = yR # bila dipilih r X0 = yr 1 1/2 1 0 1 6/5 0 0 1 x1 x2 x3 = 1 4/5 -6 Matematika II - 26 Vektor Jawab

# bila dipilih R X0 = yR X3 = -6 X0 = 3 8 -6 X2 + 6/5 X3 = 4/5 X2 = 8 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat X3 = -6 X0 = 3 8 -6 X2 + 6/5 X3 = 4/5 X2 = 8 X1 + ½ X2 + X3 = 1 X1 = 3 # bila dipilih R X0 = yR 2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5 x1 x2 x3 = 2 -12/5 2/5 X3 = -12/5 X3 = -6 X0 = 3 8 -6 5/2 X2 + 3 X3 = 2 X2 = 8 2 X1 + X2 + 2 X3 = 2 X1 = 3 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat LAJUR PENGUJI (LP) Manfaatnya untuk memeriksa apakah jumlah unsur tiap baris yang diolah samadengan nilai unsur lajur penguji (LP) yang seletak Misal periksa baris r1 r1 = R1/2 * Nilai unsur pada lajur penguji adalah 8 x ½ = 8/2 * Jumlah nilai unsur pada M, y dan I adalah ( 1 + ½ + 1 ) + 1 + ( ½ + 0 + 0 ) = 8/2 Matematika II - 26 Vektor Jawab

Vektor Jawab Umum M x = y X0 = Mu y Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Vektor Jawab Umum M x = y X0 = Mu y Cara pengolahan :  Ubah susunan persamaan linier menjadi : m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m24 m41 m42 m43 m44 y11 y21 y31 y41 Xo = (4 x 4) (4 x 1) (4 x 1) Matematika II - 26 Vektor Jawab

 Tentukan determinan matriks dan anak-matriksnya Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat  Tentukan determinan matriks dan anak-matriksnya a. Dalam hal ini DM = 0; bila tidak dinyatakan, maka perlu diperiksa lebih dulu apakah determinannya nol atau tidak. b. Periksa anak2-matriksnya untuk dimensi yang lebih kecil dengan determinan tidaksama nol. m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44 m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44 4 anak-matriks; (3 x 3) 9 anak-matriks; (2 x 2) Matematika II - 26 Vektor Jawab

b1. Hitung determinan untuk dimensi (3 x 3)  Bila diperoleh 1 anak-matriks yang DQ ≠ 0; langsung diolah lebih lanjut.  Bila determinan semua anak2-matriks) = 0; maka dilanjutkan ke anak2-matriks berdimensi 2. b2. Hitung determinan untuk dimensi (2 x 2)  Bila diperoleh 1 anak-matriks yang DQ ≠ 0; langsung diolah lebih lanjut.  Bila determinan semua anak2-matriks) = 0; maka dilanjutkan ke anak-matriks berdimensi 1.

 Tentukan kebalikan umum matriks M Cara penyelesaiannya : a. Matriks Ajugat b. Penyapuan c. Transformasi Linier  Hitung vektor jawabnya X0 = MU . y

1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut. CL VJ05 SL VJ04 1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut. 7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 2 3 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 3 2 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 2 2. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut. 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 10 3 x1 - x2 - 5 x3 = 1

XO = 7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 2 Persamaan linier : 3 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 3 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL VJ05-1 : (Xo umum) Persamaan linier : 7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 2 3 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 3 2 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 2 Penyelesaian : (matriks segi; DM = 0)  Susun ulang menjadi : y M 7 5 2 3 9 3 2 6 2 XO = 2 3 (3 x 3) (3 x 1) (3 x 1) Matematika II - 26 Vektor Jawab

 Tentukan determinan anak-matriksnya Q11 Q12 7 5 2 3 9 3 2 6 2 Dalam hal ini ada 4 kemngkinan untuk menentukan determinan-nya (anak-matriks) Misal yang dipilih anak-matriks Q21 Q22 Q12 = 5 2 9 3 DQ = -3  Tentukan kebalikan umum matriks M q11 q12 q21 q22 KQ = q11 = (-1)2 (3) q21 = (-1)3 (2) q12 = (-1)3 (9) q22 = (-1)4 (5)

   KQ = KQ’ = -1/3 Q-1 = (Q-1)’ = 2/3 -5/3 3 -2 -9 5 (MU)’ = MU = 3 -9 -2 5 KQ =  3 -2 -9 5 KQ’ = -1/3 Q-1 = (Q-1)’ = -1 3 2/3 -5/3 3 -2 -9 5  (MU)’ = 0 -1 3 0 2/3 -5/3 0 0 0 MU = 0 0 0 -1 2/3 0 3 -5/3 0   Hitung vektor jawabnya X0 = MU . y = = 0 0 0 -1 2/3 0 3 -5/3 0 2 3 1

XO = Persamaan linier : 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 10 3 x1 - x2 - 5 x3 = 1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL VJ05-2 : (Xo umum) Persamaan linier : 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 10 3 x1 - x2 - 5 x3 = 1 Penyelesaian : (algoritma)  Susun ulang menjadi : y M XO = 2 4 6 3 -1 -5 10 1 (2 x 3) (3 x 1) (2 x 1) Matematika II - 26 Vektor Jawab

 Tentukan determinan matriksnya 2 4 6 3 -1 -5 Dalam hal ini ada 2 kemngkinan untuk menentukan determinannya (sub-matriks) Q11 = 2 4 3 -1 DQ = (2)(-1) – (4)(3) = –14 (2 x 2) Q12 = 4 4 -1 -5 DQ = (4)(-5) – (4)(-1) = –16 (2 x 2)

 Misal menggunakan sub-matriks Q11 = 2 4 3 -1 Karena kedua determinan sub-matriks Q “tidak sama dengan nol”, maka keduanya dapat gunakan. Berarti akan diperoleh dua Xo. Misal menggunakan sub-matriks Q11 = 2 4 3 -1  Tentukan kebalikan sub-matriksnya KQ = q11 q12 q21 q22 q11 = (-1)2 (-1) q12 = (-1)3 (3) q21 = (-1)3 (4) q22 = (-1)4 (2) -1 -3 -4 2 KQ =  -1 -4 -3 2 KQ’ =

  Q-1 = (Q-1)’ = 1/14 3/14 4/14 -2/14 -1 -4 -3 2 -1/14 (MU)’ = 1/14 3/14 4/14 -2/14 -1 -4 -3 2 -1/14 Q-1 =  (MU)’ = 1/14 3/14 0 4/14 -2/14 0 MU = 1/14 4/14 3/14 -2/14 0 0   Hitung vektor jawabnya X0 = MU . y 1/14 4/14 3/14 -2/14 0 0 10 1 = = 2