BAB 8 TRIGONOMETRI Sumber gambar : peusar.blogspot.com

STANDAR KOMPETENSI STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

KOMPETENSI DASAR 5.1 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri 5.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 5.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan penafsirannya KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, kosekan suatu sudut) pada segitiga siku-siku Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen) dari sudut khusus Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen) dari sudut di semua kuadran Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana INDIKATOR

INDIKATOR Menggunakan tabel dan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi trigonometri dan besar sudutnya Menggambar grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan tabel dan lingkaran satuan Membuktikan dan menggunakan identitas trigonometri sederhana dalam penyelesaian soal Menggunakan aturan sinus, aturan kosinus dan rumus luas segitiga dalam penyelesaian soal INDIKATOR

INDIKATOR Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, menentukan besaran masalah tersebut sebagai variabel, membuat model matematikanya, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil penyelesaian masalah tersebut INDIKATOR

Pilihan Materi Ukuran Sudut Identitas Trigonometri Halaman (300-305) Identitas Trigonometri Halaman (350-353) Perbandingan Trigonometri Halaman (308-333) Aturan Sinus dan Cosinus Halaman (355-360) Persamaan Trigonometri Halaman (335-338) Luas Segitiga Halaman (363-367) MATERI Penggunaan Kalkulator Halaman (339-341) Luas Segiempat dan Segi-n Beraturan Halaman (368-371) Fungsi Trigonometri Halaman (342-348) Penerapan Trigonometri Halaman (373-374)

A. Ukuran Sudut Satuan untuk mengukur sudut adalah derajat dan radian 1. Pengertian Derajat dan Radian Derajat dinotasikan dengan “o” dan satu derajat (1o) diartikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh kali putaran penuh atau dengan kata lain 1 putaran penuh = 360o. MATERI

Radian Perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari lingkaran tersebut. Satu radian (1 rad) diartikan sebagai besarnya sudut pusat juring yang panjang busurnya sama dengan jari-jari. MATERI

2. Hubungan Satuan Derajat dan Radian Satu putaran sama dengan 2π radian atau 360o. Berarti 2π rad = 360o atau π rad = 180o MATERI

Putaran berlawanan arah jarum jam positif dan searah jarum jam negatif 3. Standar Baku Sudut dalam trigonometri merupakan hasil putaran dari sisi inisial (sisi awal) ke sisi terminal (sisi akhir) MATERI Putaran berlawanan arah jarum jam positif dan searah jarum jam negatif

Suatu sudut dikatakan sudut baku jika sisi inisialnya berimpit dengan sumbu X positif dan sisi terminalnya dapat terletak di salah satu kuadran dari empat kuadran atau terletak di salah satu sumbu koordinat. MATERI

B. Perbandingan Trigonometri 1. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku sudut Sisi miring Sisi Samping Sisi miring Sisi depan sudut Sisi Samping Sisi depan Sisi miring tidak selalu miring, tetapi selalu sisi depan sudut siku-siku sinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi depan suatu sudut dengan sisi miring MATERI cosinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping suatu sudut dengan sisi miring tangen suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi depan suatu sudut dengan panjang sisi samping

de B mi sa c a mi de MATERI A C b sa Agar lebih mudah mengingatnya maka sisi depan, sisi samping, dan sisi miring disingkat de, sa, mi Untuk lebih mudah mengingat nilai perbandingan trigonometri sin, cos, tan berturut-turut demisamidesa

Contoh soal Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di C seperti tergambar di bawah ini. Panjang AB = 5 cm, AC = 3 cm, dan BC = 4 cm. Tentukan nilai sin B, cos B, dan tan B! A B C 4 cm 5 cm 3 cm MATERI

Dikenal pula perbandingan trigonometri yang lain, yaitu secan, cosecan, cotangen. Secan merupakan kebalikan dari cosinus, cosecan merupakan kebalikan dari sinus, dan cotangen merupakan kebalikan dari tangen. B MATERI c a A C b

2. Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran Misalkan P berkoordinat (x, y) dan panjang OP adalah r, maka Jika θ adalah sudut XOP, maka didapat: Y P (x, y) • MATERI r y θ O X x

Definisi perbandingan trigonometri di atas juga berlaku untuk sudut θ yang berada di kuadran II, III, atau IV seperti ditunjukkan gambar berikut ini. Y Y θ Y θ O O P (‒x, y) ‒x x • X X r ‒y ‒y y r r MATERI θ • • X P (‒x, ‒ y) P (x, ‒ y) ‒x O kuadran II kuadran III kuadran IV

Tanda-tanda perbandingan trigonometri Nilai positif di masing-masing kuadran MATERI

Karena θ berada di kuadran III, maka x dan y bertanda negatif. Contoh soal Karena θ berada di kuadran III, maka x dan y bertanda negatif. MATERI

3. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Khusus Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara eksak (tepat). Sudut khusus yang dipelajari adalah 0°, 30°, 45°, 60° dan 90°. MATERI

Maka diperoleh nilai perbandingan trigonometri Segitiga samasisi ABD a. Sudut 30°, 45°, dan 60° Maka diperoleh nilai perbandingan trigonometri Segitiga samasisi ABD A 30o c c b 60o B a a D C MATERI

Segitiga siku-siku samakaki ABC 45o c b 45o B C a MATERI

a. Sudut 0° dan 90° Nilai perbandingan trigonometri sudut 0° dan 90° dicari dengan koordinat Cartesius Agar sudut XOP = 0o, maka titik P terletak di sumbu X positif. Misalkan koordinat titik P adalah (a, 0). MATERI

Agar sudut XOP = 90o, maka titik P terletak di sumbu Y positif Agar sudut XOP = 90o, maka titik P terletak di sumbu Y positif. Misalkan koordinat titik P adalah (0, b). MATERI

Dari uraian di atas diperoleh nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus yang dibuat dalam tabel berikut. MATERI

Cara mengingat nilai sinus dan cosinus MATERI Sumber gambar : agengjelly.multiply.com

3. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi MATERI

Hubungan antara sudut θ dan α dalam Perbandingan trigonometri . MATERI

Lanjutan MATERI

Untuk besar sudut yang melebihi satu putaran penuh digunakan rumus berikut MATERI

Perbandingan trigonometri yang menghubungkan sudut θ dan α dengan α merupakan sudut yang dibentuk sisi terminal OP dengan sumbu Y terdekat adalah sebagai berikut MATERI

Lanjutan MATERI

Contoh soal Tentukan nilai dari: a. sin 120° b. cos 240° c. tan 675° a. sin 120° = sin (180° ‒ 60°) = sin 60° = b. cos 240° = cos (180° + 60°) = ‒cos 60° = MATERI c. tan 675° = tan (360° + 315°) = tan 315° = tan (360° ‒ 45°) = ‒tan 45°

C. Persamaan Trigonometri Menentukan besar sudut apabila nilai perbandingan trigonometrinya diketahui disebut menyelesaikan persamaan trigonometri 1. Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan trigonometri sederhana adalah persamaan yang nilai sin x, cos x, atau tan x sudah diketahui. Untuk mendapatkan semua sudut yang memenuhi persamaan, harus mengingat nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus di berbagai kuadran MATERI Misalnya α sudut di kuadran I,maka pasangan sudut di kuadran lainnya adalah: II = 180o ‒ α, III = 180o + α , dan IV = 360o ‒ α

Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o Contoh soal Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o MATERI

Lanjutan MATERI

2. Penyelesaian Umum sin x = sin α maka x1 = α + k . 360o atau x2 = (180o ‒ α) + k . 360o cos x = cos α maka MATERI x1 = α + k . 360o atau x2 = ‒α + k . 360o tan x = tan α maka Dengan k = 0, ±1, ±2, .... x = α + k . 180o

Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o Contoh soal 1 Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o MATERI

Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o Contoh soal 2 Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o MATERI

D. Penggunaan Kalkulator Nilai pendekatan perbandingan trigonometri untuk sembarang sudut dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulator Contoh soal Tentukan nilai pendekatan dari: a. sin 50o b. cos 100o a. sin 50o = .... Pastikan MODE dalam posisi DEG, kemudian tekan sin, 50, =, maka pada layar akan muncul angka 0,76604443 MATERI Jadi sin 50o = 0,7660 (4 desimal) b. cos 100o = .... Tekan cos, 100, =, maka pada layar akan muncul angka ‒0,17364818 Jadi cos 100o = ‒0,1736 (4 desimal).

Pastikan MODE dalam posisi DEG, kemudian tekan SHIFT, sin, Kebalikan dari sin adalah arc sin atau biasa ditulis sin‒1. Hubungan sin dan sin‒1 adalah sebagai berikut. Contoh soal Tentukan hasil dari: a. sin‒1 0,4226 b. tan‒1 2,0503 a. sin ‒1 0,4226 = .... MATERI Pastikan MODE dalam posisi DEG, kemudian tekan SHIFT, sin, 0.4226, =, maka diperoleh: sin ‒1 0,4226 = 25o b. tan ‒1 2,0503 = .... Tekan SHIFT, tan, 2.0503, =, maka diperoleh: tan ‒1 2,0503 = 64o.

E. Fungsi Trigonometri 1. Pengertian Fungsi Trigonometri untuk setiap sudut x hanya ada satu nilai sin x, cos x, dan tan x maka sin, cos, dan tan masing-masing disebut fungsi yang memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real seperti ditunjukkan gambar berikut. MATERI Sumber gambar : surismathematic.blogspot.com

Tentukan nilai f(45o) pada fungsi-fungsi berikut! Contoh soal Tentukan nilai f(45o) pada fungsi-fungsi berikut! a. f(x) = sin 2x b. f(x) = sin x ‒ cos x c. f(x) = tan x a. f(x) = sin 2x f(45o) = sin (2 . 45o) = sin 90o = 1 b. f(x) = sin x ‒ cos x MATERI f(45o) = sin 45o ‒ cos 45o = c. f(x) = tan x f(45o) = tan 45o = 1

Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi f(x) = 2 sin x + 5 Fungsi sin x mempunyai nilai maksimum = 1 pada saat x = 90o dan nilai minimum = ‒1 pada saat x = 270o Fungsi cos x mempunyai nilai maksimum = 1 pada saat x = 0o dan nilai minimum = ‒1 pada saat x = 180o Contoh soal Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi f(x) = 2 sin x + 5 MATERI f(x) = 2 sin x + 5 fmaks dicapai bila sin x = 1 → fmaks = 2 . 1 + 5 = 7 fmin dicapai bila sin x = ‒1 → fmin = 2 (‒1) + 5 = 3 Jadi fmin = 3 dan fmaks = 7

2. Grafik Fungsi Trigonometri Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x) dilukis menggunakan tabel yang memuat pasangan berurutan (x, f(x)). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan sehingga terbentuk kurva mulus. MATERI Berikut ini adalah grafik fungsi-fungsi di bawah ini untuk 0 ≤ x ≤ 360o! a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x

Koordinat titik-titik dalam tabel digambarkan dalam sistem koordinat Untuk menggambar grafik y = sin x, terlebih dahulu kita membuat tabel dan menentukan beberapa titik pada selang [0,360o] x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o y = sin x x 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o y = sin x MATERI Koordinat titik-titik dalam tabel digambarkan dalam sistem koordinat Cartesius kemudian dihubungkan sehingga diperoleh sketsa grafik y = sin x berikut.

• • • • • • • • • • • • • MATERI 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o

Koordinat titik-titik dalam tabel digambarkan dalam sistem koordinat Untuk menggambar grafik y = cos x, terlebih dahulu kita membuat tabel dan menentukan beberapa titik pada selang [0,360o] x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o y = cos x x 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o y = cos x MATERI Koordinat titik-titik dalam tabel digambarkan dalam sistem koordinat Cartesius kemudian dihubungkan sehingga diperoleh sketsa grafik y = cos x berikut.

y = cos x • • • • • • • • • • • • • MATERI 0o 30o 60o 90o 120o 150o

Koordinat titik-titik dalam tabel digambarkan dalam sistem koordinat Dengan cara yang sama maka titik-titik grafik fungsi y = tan x sebagai berikut, x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o y = tan x Tak terdefinisi x 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o y = tan x Tak terdefinisi MATERI Koordinat titik-titik dalam tabel digambarkan dalam sistem koordinat Cartesius kemudian dihubungkan sehingga diperoleh sketsa grafik y = tan x berikut.

y = tan x • • • • • • • • • • • √3 ⅓√3 -⅓√3 MATERI -√3 0o 30o 60o 90o

Selain dengan cara di atas, grafik fungsi trigonometri dapat juga digambar dengan bantuan lingkaran satuan MATERI

Bila fungsi-fungsi sebelumnya digambar dengan bantuan lingkaran satuan dengan interval [0,360o] maka didapat Grafik fungsi y = sin x MATERI

Grafik fungsi y = cos x MATERI

Grafik fungsi y = tan x MATERI

F. Identitas Trigonometri Hubungan perbandingan trigonometri dibagi ke dalamtiga kelompok yakni kelompok identitas kebalikan, identitas perbandingan, dan identitas Pythagoras. Perbandingan trigonometri identitas kebalikan adalah MATERI identitas perbandingan dirumuskan

Cara mendapatkan identitas pythagoras sebagai berikut P (x, y) • r y MATERI θ O x X

Jika kedua ruas sin2 θ + cos2 θ = 1 dibagi cos2 θ maka diperoleh: Jika kedua ruas sin2 θ + cos2 θ = 1 dibagi sin2 θ maka diperoleh: MATERI

Pembuktian Identitas: Jika nilai ruas kiri = nilai ruas kanan untuk sembarang nilai variabel, maka bentuk demikian disebut kesamaan atau identitas. Contoh soal Buktikan bahwa: a. 3 sin2 x + 5 = 8 ‒ 3 cos2 x b. 5 sin2 x + 3 cos2 x = 2 sin2 x + 3 a. 3 sin2 x + 5 = 3 (1 ‒ cos2 x) + 5 MATERI = 3 ‒ 3 cos2 x + 5 = 8 ‒ 3 cos2 x 3 sin2 x + 5 = 8 ‒ 3 cos2 x terbukti

b. 5 sin2 x + 3 cos2 x = 5 sin2 x + 3 (1 ‒ sin2 x) Lanjutan b. 5 sin2 x + 3 cos2 x = 5 sin2 x + 3 (1 ‒ sin2 x) = 5 sin2 x + 3 ‒ 3 sin2 x = 2 sin2 x + 3 5 sin2 x + 3 cos2 x = 2 sin2 x + 3 terbukti MATERI

G. Aturan Sinus dan Cosinus Pada segitiga ABC, CD merupakan salah satu garis tingginya. Perhatikan segitiga ADC! C E a b Perhatikan segitiga BCD! A B D c MATERI Dari (1) = (2), maka b sin A = a sin B, sehingga diperoleh: Dengan cara yang sama untuk garis tinggi AE, akan diperoleh:

Dari Diperoleh MATERI

Contoh soal Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 62o, sudut B = 46o, dan panjang sisi b = 4,2. Tentukan panjang sisi dan besar sudut yang belum diketahui! Menghitung sudut C MATERI Menghitung sisi a

Menghitung sisi c MATERI

Perhatikan segitiga ACD! 2. Aturan cosinus Perhatikan segitiga ACD! C D a b A B c MATERI

Dengan cara yang sama maka diperoleh Rumus-rumus tersebut adalah aturan cosinus MATERI

Menghitung sudut B dengan aturan cosinus Menghitung sudut C Contoh soal Diketahui segitiga ABC dengan b = 5, c = 3, dan sudut A = 60o. Tentukan panjang sisi dan besar sudut yang belum diketahui! Menghitung sisi a MATERI Menghitung sudut B dengan aturan cosinus Menghitung sudut C

H. Luas Segitiga Pada segitiga ADC berlaku CD = b sin A Pada segitiga BDC berlaku CD = a sin B A B Maka D c MATERI Dengan menggunakan alas AC dan garis tinggi dari titik B, akan diperoleh:

Sehingga diperoleh rumus-rumus luas segitiga. MATERI

Contoh soal Diketahui segitiga ABC dengan sisi AC = 4 cm, AB = 6 cm, dan sudut A = 30o. Tentukan luas segitiga tersebut! MATERI

Menentukan luas segitiga apabila ketiga sisinya diketahui, sebaiknya gunakan rumus berikut ini. MATERI

Contoh soal Tentukan luas segitiga yang panjang sisi-sisinya a = 4 cm, b = 5 cm, dan c = 7 cm! MATERI

I. Luas Segiempat dan segi-n beraturan Luas segiempat diperoleh dengan cara membuat segiempat tersebut menjadi dua segitiga, sehingga luas segiempat sama dengan jumlah luas kedua segitiga. Untuk menghitung luas segiempat disamping dengan cara membuat segiempat menjadi dua segitiga MATERI Lalu menghitung luas dengan menggunakan luas aturan sinus

Jika diagonal-diagonal suatu segiempat diketahui dan sudut antara diagonal-diagonal juga diketahui, maka untuk menghitung luas segiempat tersebut digunakan rumus berikut. MATERI

2. Luas Segi-n Beraturan Luas segi-n beraturan diperoleh dengan cara membagi segi-n beraturan tersebut menjadi n segitiga sama kaki. Sehingga Luas segi-n beraturan sama dengan n kali luas segitiga samakaki. Jika jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan adalah r, maka luas segi-n adalah MATERI

Contoh soal Tentukan luas segi-6 beraturan apabila diketahui jari-jari lingkaran luarnya 4 cm! MATERI

J. Penerapan Konsep Trigonometri Langkah-langkah menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep trigonometri 1. Pahami masalah 2. Rencanakan pembahasan 3. Selesaikan (perhitungan) MATERI 4. Simpulkan hasilnya

Rencanakan Pembahasannya Contoh soal Sebuah tangga yang panjangnya 20 kaki bersandar pada dinding suatu bangunan. Kaki tangga berjarak 10 kaki dari dasar dinding. Tentukan besarnya sudut antara tangga dengan tanah! Pahami Masalahnya : Tangga, dinding bangunan, dan tanah membentuk suatu segitiga. Ditanyakan sudut yang dibentuk tangga dan tanah. MATERI Rencanakan Pembahasannya

Selesaikan (perhitungan) MATERI Interpretesikan hasilnya: Sudut antara tangga dan tanah adalah 60°

Latihan Kerjakan latihan 1 sampai dengan latihan 13 LATIHAN SOAL

TUGAS Kerjakan uji latih pemahaman 8A dan 8B TUGAS